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المملكة المغربية ROYAUME DU MAROC Ministère de l'Éducation Nationale, de la For

المملكة المغربية ROYAUME DU MAROC Ministère de l'Éducation Nationale, de la Formation Professionnelle, de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Présidence du Concours National Commun Institut National de Statistique et d'Économie Appliquée CONCOURS NATIONAL COMMUN d'admission aux Établissements de Formation d'Ingénieurs et Établissements Assimilés Session 2017 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES I Filière PSI Durée 4 heures Cette épreuve comporte 4 pages au format A4, en plus de cette page de garde L'usage de tout type de calculatrice est interdit page de garde Concours National Commun – Session 2017 – Filière PSI L’énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la ﬁlière PSI, comporte 4 pages. L’usage de tout matériel électronique, y compris la calculatrice, est interdit. Les candidats sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des raisonnements constitueront des éléments importants pour l’appréciation des copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les références des questions abordées. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. Le sujet de cette épreuve est composé d’un exercice et de deux problèmes indépendants entre eux. Durée : 4 heures al9ahira Exercice Calcul de la somme de la série de Riemann P n≥1 1 n2 1. Montrer que pour tou k ∈N∗, R π 0 x2 2π −x cos(kx)dx = 1 k2 . 2. Soit x ∈]0, π] a) Montrer que pour tout n ∈N∗, eix 1−einx 1−eix = sin( nx 2 ) sin( x 2 ) ei (n+1)x 2 . b) En déduire que pour tout n ∈N∗, n P k=1 cos(kx) = sin( nx 2 ) cos (n+1)x 2 sin( x 2 ) . 3. Soit ψ une fonction réelle de classe C1 sur [0, π]. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que lim m→+∞ R π 0 ψ(x) sin(mx)dx = 0. 4. Soit g la fonction réelle déﬁnie sur [0, π] par    g(x) = x2 2π −x 2 sin( x 2 ) si x ∈]0, π] g(0) = −1 . Montrer que g est de classe C1 sur [0, π]. 5. a) Montrer que pour tout n ∈N∗, n P k=1 1 k2 = π2 6 + R π 0 g(x) sin((2n+1) 2 x)dx. b) Justiﬁer la convergence de la série P n≥1 1 n2 et montrer que +∞ P n=1 1 n2 = π2 6 . Problème 1 On désigne par R+ l’ensemble des réels positifs et par R∗+ l’ensemble des réels strictement positifs. Dans tout le problème, on note L l’ensemble des fonctions f : R+ →R, continues, telles que, pour tout entier n > 0, pour tout réel x > 0, R +∞ 0 |f(t)|e−nxtdt est convergente. Pour tout entier n > 0 et pour tout f dans L , on note Nn(f), la fonction déﬁnie sur R∗+ par ∀x ∈R∗+, Nn(f)(x) = R +∞ 0 f(t)e−nxtdt. Soit k un entier naturel non nul et soit f une fonction k fois dérivable sur R+, on note f(0) = f et f(k) = (f(k−1))′ désigne la dérivée kème de f. Dans toute la suite, n désigne un entier naturel non nul. Partie I Exemples 1. Soit α un réel positif, on considère la fonction ϕα : R+ →R, telle que pour tout t ∈R+, ϕα(t) = e−αt. Démontrer que ϕα est un élément de L et déterminer Nn(ϕα). 2. Soit ω un réel positif, on considère les deux fonctions C et S, telles que pour tout réel t positif, C(t) = cos(ωt) et S(t) = sin(ωt). a) Démontrer que C est un élément de L et déterminer Nn(C). b) Démontrer que S est un élément de L et déterminer Nn(S). Épreuve de Mathématiques I Page 1/4 https://al9ahira.com/ Concours National Commun – Session 2017 – Filière PSI Partie II Comportements asymptotiques Dans cette partie, f désigne un élément de L . 1. On suppose que f est une fonction bornée sur R+. a) Déterminer la limite de Nn(f)(x) quand x tend vers +∞. b) Montrer que si de plus, f est de classe C1 sur R+ et f′ est bornée sur R+, alors lim x→+∞xNn(f)(x) = f(0) n . 2. On suppose que lim t→+∞f(t) = ℓ, où ℓest un réel. a) Montrer que f est une fonction bornée sur R+. b) i) Montrer que, pour tout x ∈R∗+, xNn(f)(x) = R +∞ 0 f( t x)e−ntdt. ii) En déduire lim x→0+xNn(f)(x). 3. On suppose que f est intégrable sur R+ et on considère la suite (gn)n>0 déﬁnie comme suit : ∀n ∈N∗, gn = Nn(f)( 1 n+1). Déterminer la limite de la suite (gn)n>0. al9ahira Partie III Quelques propriétés de Nn 1. Soient f un élément de L et m un entier naturel, on considère la fonction gm déﬁnie sur R+ par ∀t ∈R+, gm(t) = tmf(t). a) Pour x > 0, justiﬁer qu’il existe B > 0 tel que pour tout t ≥B, tme−nxt ≤e−nxt 2 . b) En déduire que gm est un élément de L . 2. a) Démontrer que pour tout élément f de L , la fonction Nn(f) est de classe C1 sur R∗+ et que l’on a (Nn(f))′ = −nNn(g1) où g1 est la fonction déﬁnie dans la Partie III question 1. b) Plus généralement, démontrer que pour tout élément f de L , la fonction Nn(f) est de classe C∞sur R∗+ et déterminer, pour tout k ∈N, (Nn(f))(k) en fonction de Nn(gk), où gk est la fonction déﬁnie dans la Partie III question 1. 3. Soit f une fonction de classe C1 et bornée sur R+ telle que f′ soit dans L . a) Montrer que pour tout x ∈R∗+, Nn(f′)(x) = nxNn(f)(x) −f(0) b) Montrer que si de plus, f est de classe C2 sur R+ et f′ est bornée sur R+ et f′′ est un élément de L , alors pour tout x ∈R∗+, Nn(f′′)(x) = (nx)2Nn(f)(x) −nxf(0) −f′(0) Partie IV Injectivité de Nn 1. Soit h une fonction réelle continue sur [0, 1] telle que, pour tout m ∈N, R 1 0 tmh(t)dt = 0. a) Montrer que pour tout polynôme P à coeﬃcients réels, R 1 0 P(t)h(t)dt = 0. b) En déduire que h est la fonction nulle. 2. Soit f un élément de L , on pose pour tout t ≥0, hn(t) = R t 0 e−nuf(u)du. a) Montrer que pour tout entier k > 0, Nn(f)(1 + k) = nkNn(hn)(k). b) On suppose que pour tout entier k > 0, Nn(f)(1 + k) = 0. i) Montrer que pour tout entier k ≥0, R 1 0 ukhn(−ln u n )du converge et vaut 0. ii) En déduire que hn est la fonction nulle. 3. Montrer que l’application Nn déﬁnie sur L est injective. Épreuve de Mathématiques I Page 2/4 https://al9ahira.com/ Concours National Commun – Session 2017 – Filière PSI Partie V Application au calcul de l’intégrale de Dirichlet Soit w un réel strictement positif, on considère la fonction g déﬁnie par g(0) = w et pour tout t > 0, g(t) = sin wt t et soit G la fonction déﬁnie sur R+ par G(x) = R x 0 g(t)dt. 1. Montrer que G admet une limite réelle ℓen +∞. 2. a) Montrer que pour tout x ∈R∗+, Nn(g)(x) = π 2 −arctan(( n w)x), (vous pouvez utiliser les questions de la Partie III, 2. a) et de la Partie II, 1. a). b) i) Montrer que pour tout x ∈R∗+, Nn(g)(x) = nxNn(G)(x). ii) En déduire la valeur de R +∞ 0 sin wt t dt. al9ahira Partie VI Application à la résolution des équations diﬀérentielles Soit l’équation diﬀérentielle linéaire d’ordre 2 à coeﬃcients constants : (E) a0y′′ + a1y′ + a2y = f(t), avec les conditions initiales : y(0) = y0, y′(0) = y1, avec (a0, a1, a2) ∈R3, a0 ̸= 0, (y0, y1) ∈R2 et f ∈L . On voudrait trouver la solution y = y(t) pour t ≥0 de (E). 1. Montrer que si y est une solution de (E) alors y vériﬁe une équation algébrique de la forme: Nn(y)(x) = ψn,1(x) ϕn,2(x) + Nn(f)(x) ϕn,2(x) , où ϕn,2 est un polynôme à coeﬃcients réels de degré 2 et ψn,1 est un polynôme à coeﬃcients réels de degré inférieur ou égal à 1. 2. Résoudre, en utilisant N1, l’équation diﬀérentielle y′′ +3y′ +2y = 2e −3 2 t, avec les conditions initiales suivantes : y(0) = 1 et y′(0) = 2. 3. Résoudre, en utilisant N2, l’équation diﬀérentielle y′′ + 4y′ + 3y = sin t, avec les conditions initiales suivantes : y(0) = 1 et y′(0) = −3. 4. Résoudre le système diﬀérentiel suivant : (S)      y′ 1 + y′ 2 −y1 + y2 = −4e−3t y′ 1 + 2y′ 2 + 3y1 + y2 = 5 cos t y1(0) = 2, y2(0) = 0 Problème 2 Soit (Ω, A, uploads/s3/ cnc-maths-1-psi-2017-enonce.pdf