Lycée de Mateur DEVOIR DE SYNTHESE N1 SAIDANI MOEZ DUREE 2 H 2014/2015 BAC TEC

Lycée de Mateur DEVOIR DE SYNTHESE N1 SAIDANI MOEZ DUREE 2 H 2014/2015 BAC TEC 3 EXERCICE N 1 ————————————————————————————————————3points Indiquer la réponse exacte pour chacune des questions suivantes . 1. La forme exponentielle de z = 2 2i est 8 < : 2 p 2ei 3 4 2 p 2ei  4 2 p 2ei 3 4 : 2. 1 + i p 3 est une racine cubique de 8 < : 8 8i 8i : 3. Soient A; B et C trois points d’a¢xes respectives zA; zB et zC dans un repère (O; ! u ; ! v ): (a) Si zC = zA + zB alors 8 < : A; B et C sont alignés A est le milieu de [BC] OACB est un parallèlogramme : (b) Si (zC zA) = 3i(zB zA) alors 8 < : A; B et C sont alignés A; B et C sont situés dans un cercle de diamétre[AB] Le triangle ABC est rectangle en A : EXERCICE N2 ————————————————————————————————————-6points Soit f une fonction dé…nie sur R par f(x) = x p x2 + 1 + 2: 1. Calculer lim x!1f(x) et lim x!+1f(x) interpréter le résultat graphiquement. 2. Etudier la continuité de f sur R: 3. Montrer que f est dérivable sur R et que f 0(x) = p x2 + 1 x p x2 + 1 : (a) Montrer que p x2 + 1 > x pour tout réel x: (b) Dresser le tableau de variation de f: (c) Déduire que f réalise une bijection de R vers un intervalle J que l’on déterminera. 4. (a) Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle ]1; 0[ : (b) Donner un encadrement de à 101 prés. 5. (a) Véri…er que f 0(x) = 2 f(x) p x2 + 1 et que f 0( ) = 2 + 2: (b) Donner l’équation de la tangente à la courbe de f en : EXERCICE N3 ———————————————————————————————————–5:5points 1. Résoudre dans C l’équation : z2 (1 + i)z + i = 0: 2. On considère dans l’ensemble C l’équation (E) : z2 (1 + i)eiz + ie2i = 0 (où  est un réel). 1 (a) Véri…er que z1 = ei est une solution de (E): (b) En déduire l’autre solution z2 de (E): 3. Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct (O; ! u ; ! v ): On considère les points M1 est M2 d’a¢xes respectives z1 et z2: (a) Véri…er que z1 z2 est imaginaire pur. (b) Montrer que pour tout  2 R le triangle OM1M2 est isocèle et rectangle en O: EXERCICE N4 ———————————————————————————————————–5:5points On considère la fonction dé…nie sur ]0; +1[ par f(x) = x 1 x: 1. (a) Montrer que f est dérivable sur ]0; +1[ puis calculer f(1) et f 0(1): (b) Calculer lim x!+1(f(x) x) et interpréter le résultat. (c) Véri…er que f est une bijection de ]0; +1[ sur R: 2. Soit f 1 la fonction réciproque de f: (a) Calculer f 1(0) et (f 1)0(0): (b) Expliciter f 1(x): (c) En utilisant le graphe de f ,représenter la courbe de la fonction f 1 (préciser la tangente au point d’abscisse 0 ) . 2 uploads/s3/ devoir-tn-devoir-de-synthese-n01-2014-2015-saidani-moez.pdf

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