Université Cadi Ayyad Année universitaire 2017/2018 Faculté des Sciences Semlal

Université Cadi Ayyad Année universitaire 2017/2018 Faculté des Sciences Semlalia SMA/S4/Algèbre5 Département de Mathématiques Contrôle final (Durée 2h) 06 juin 2018 Exercice 1 Soit E = M2(R) le R-espace vectoriel des matrices carrées réelles d’ordre 2 et soit H un hyperplan de E. On pose E11 =  1 0 0 0  E12 =  0 1 0 0  E21 =  0 0 1 0  E22 =  0 0 0 1  1. Montrer que (E11, E12, E21, E22) est une base de E. 2. Montrer qu’il existe (α11, α12, α21, α22) ∈R4 tel que H =  a11 a12 a21 a22  ∈E : α11a11 + α12a12 + α21a21 + α22a22 = 0  3. Supposons αij ̸= 0 pour (i, j) = (1, 2) ou (i, j) = (2, 1). Posons Aij = E11 + E22 −α11 + α22 αij Eij. Montrer que Aij ∈H ∩GL2(R). 4. Supposons que α12 = α21 = 0 et soit A = E12 + E21. Montrer que A ∈H ∩GL2(R). 5. Conclure. Exercice 2 Soit q la forme quadratique sur R4 donnée par : q((x, y, z, t)) = 2x2 + 2y2 −z2 + t2 −4xy + 4xt −4yt + 2zt, ∀(x, y, z, t) ∈R4 1. Donner la matrice de q dans la base canonique de R4. 2. Décomposer la forme quadratique q en somme de carrés de formes linéaires linéaire- ment indépendantes. 3. En déduire le rang et la signature de q. 4. La forme quadratique q est-elle dégénérée ? Justifier votre réponse. 5. La forme quadratique q est-elle positive ? Justifier votre réponse. 6. Déterminer une base q-orthogonale de R4. 7. Déterminer le noyau de q. 8. Déterminer le cône isotrope de q. 1 Exercice 3 Soit E un espace euclidien de dimension n ≥1. Un endomorphisme f de E est dit normal (resp. antisymétrique) si f ◦f ∗= f ∗◦f (resp. f ∗= −f). On note S(E) (resp. A(E)) le sous-espace vectoriel de L(E) des endomorphismes symétriques (resp. antisymétriques) de E. 1. Montrer que L(E) = S(E) ⊕A(E). 2. Soit f ∈L(E) et f = g + h, avec g ∈S(E) et h ∈A(E). Montrer que f est normal si, et seulement si g ◦h = h ◦g. 3. Soit f un endomorphisme normal de E. Montrer que ||f(u)|| = ||f ∗(u)||, ∀u ∈E. 4. Soit f ∈L(E) tel que ||f(u)|| = ||f ∗(u)||, ∀u ∈E. Montrer que f est normal. 5. Soit f ∈L(E). Montrer que f est antisymétrique si, et seulement si ⟨f(u), u⟩= 0, ∀u ∈E. 6. Montrer que si f est un endomorphisme normal de E alors Ker(f) = Im(f)⊥. 7. Soit f une projection vectorielle de E. Montrer que f est normal si, et seulement si f est une projection orthogonale. 8. Soit f ∈L(E) tel que f ◦f = IdE (f est une symétrie vectorielle). Montrer que f est normal si, et seulement si f est une symétrie orthogonale. 2 uploads/s3/ control-e-final-2018.pdf

Tags
Administrationmontrer normal forme quadratique (resp.
Documents similaires
  • 23
  • 0
  • 0
Afficher les détails des licences
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise
Partager