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Centre National de l'Évaluation, des Examens et de l’Orientation Brevet de Tech

Centre National de l'Évaluation, des Examens et de l’Orientation Brevet de Technicien Supérieur Prof :Moussaddar Page 1 2 Filières: E.S.A. Durée 2 Heures Épreuve de: MATHEMATIQUES Coefficient EXERCICE1 On considère les matrices suivantes : 2 1 1 2 A          , 1 0 0 3 D          , 1 1 1 1 P           et 1 1 1 2 1 1 Q           1. Montrer que le polynôme caractéristique de A est :  2 4 3 P       . En déduire les valeurs propres de A . 2. a- Calculer : P Q et Q P et en déduire que P est inversible puis calculer 1 P . b- Vérifier que : 1 A P D P  . c-Calculer ܣ௡. 3. On considère le système récurrent : (ܵ): ൜ ݔ௡ାଵ= 2ݔ௡+ ݕ௡ ݕ௡ାଵ= ݔ௡+ 2ݕ௡ On pose : ܺ௡= ൬ݔ௡ ݕ௡൰ et ݔ଴= ݕ଴= 1 . a- Donner une forme matricielle de (S). . b- Exprimer ܺ௡ en fonction de ܣ௡ et ܺ଴ c- En déduire ݔ௡ et ݕ௡ les solutions du système (ܵ). EXERCICE2 On considère les nombres complexes : 1 2 6 z i   ; 2 2 2 z i   et 1 2 z Z z  . 1/ Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes 1 z et 2 z , puis déduire la forme trigonométrique du nombre complexe Z . 2/ A partir des formes algébriques des nombres complexes 1 z et 2 z , déterminer la forme algébrique du nombre complexe Z . 3/ Déduire les valeurs exactes de cos 12        et sin 12        . Brevet de Technicien Supérieur - Filières : E.S.A. Épreuve de : MATHEMATIQUES Page 2 2 EXERCICE 3 Soit f la fonction définie sur ℝଶ par : ݂(ݔ, ݕ) = ݔଶ+ ݕଶ+ ݔݕ−3ݔ−3ݕ . 1/ Calculer les dérivées partielles premières de la fonction f , puis montrer que la fonction f admet un point critique unique que l’on précisera. 2/ Calculer les dérivées partielles secondes de la fonction f . 3/ Étudier la nature de l’unique point critique de la fonction f . 4/ calculer les intégrales doubles suivants : ∬ݔଶ+ ݔݕ ݀ݔ. ݀ݕ ௄ où K = {(x, y)R2 ; 0 x  1, 0 y  1} ∬ݔݕ ݀ݔ. ݀ݕ ் où T = {(x, y)R2 ; 0 x  1, 0 y  1 -x} Fin de l’épreuve uploads/s3/ controle-2-esa 1 .pdf