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ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES : épreuves coiiiiiiuiies 1996 coinposition de Mathé

ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES : épreuves coiiiiiiuiies 1996 coinposition de Mathématiques 1/4 81 COMPOSITION DE MATHeMATIQUES DURÉE : 3 heures (Sujet commun ENS : ULM, LYON et CACHAN) C C ) Bien que traitant d'un thème commun, les trois parties du problème peuvent être abordées indépendamment, mises a part quelques notations introduites dans le préliminaire de la première partie. Une lecture attentive des préliminaires de chaque partie est vivement conseillée. Dans tout le problème In désigne le logarithme népérien, exp l'exponentielle de base e et 11, la fonction définie sur R+ par : 1 1 , (O) = O et 11, ( x ) - x In ( x ) si x > O. PFEMIeRE PARTIE Soient (Q, 9, P) un espace de probabilité, X et Y deux variables aléatoires définies sur Q a valeurs dans un même ensemble fini E, dont le nombre d'Cléments est noté /El . . On dit que Y est vraisemblable pour X s'il existe une fonction c d e E dans W, appelée vraisemblance de Y pour X telle que : pour u E E , P ( Y - a ) = L ( a ) P(X-a); L(u)=O si P ( X = u ) = O . On remarquera que Y est vraisemblable pour X si et seulement si : pour a E E, [P(X- a ) = O ] * [P(Y - a ) = O l . et que la vraisemblance de Y pour X est alors unique (en particulier si P (X = a ) f O pour tout u E E , toute variable Y est vraisemblable pour X). Si Y est vraisemblable pour X de vraisemblance L, on appelle entropie relative de Y pour X la quantité : (E [Z] désigne l'espérance mathématique de la variable aléatoire Z ) . On appelle entropie de X la quantité : H ( X ) = - 1 w ( P ( X = a ) ) . (I E E .r 1 . 1 . ~ . Montrer que pour x et y dans R+ on a In (x) - In (y) d - - 1 y b. En déduire que pour tout x 2 O , (x) -t- 1 - x b O. I.2.a. Calculer H (X) lorsque X est constante, puis lorsque X suit la loi uniforme sur E. 6. Quel est le signe de H (X) ? 1.3.~. On suppose Y vraisemblable pour X de vraisemblance L. Montrer que K (Y. X) b O (on pourra utiliser 1.b.). Quand y a-t-il égalité? 6. On suppose que X suit la loi uniforme sur E. Montrer que toute variable Y est vraisemblable pour X et que K (Y,X) = H (X) - H (Y). En déduire une majoration de H (Y). 82 ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES : épreuves communes 1996 composition de Mathématiques 2/4 1 . 3 . On suppose Y vraisemblable pour X de vraisemblance L. a. Soit u une fonction de E dans Rt . Montrer que : E [(L (X) ln (u ( X ) ) ) - w (L (XNl Q E [u (XI - 1 1 (on pourra utiliser 1.a.). Pour quelle(s) u y a-t-il égalité ? 6. En déduire que pour toute fonction v de E dans R, on a : E [v(Y)] - E [exp (v(X)jI + 1 Q K (Y, X). Pour quelle(s) v y a-t-il égalité ? c. On note h (v) la quantité E [ v (Y)] - E [exp ( v (X))] . Pour h E R on note la fonction constante sur E égale à h. On pose g,. (h) * h (x+ v). Montrer que g,. admet un unique maximum. En déduire : E I V V I 1 - ln (Elexp ( v (XNl) K (Y ’ XI. Pour quelle(s) v y a-t-il égalité ? 1.5. Dans cette question E = El X E,, X = (X,, X,), Y - (Y,, Y*) où les X,, Y, sont à valeurs dans E,(i= 1,2). a. On suppose ici El = { 1,2}, E? = { 1,2,3} et on donne la loi de X suivante : pour j- 1,2,3; 1 P (X = (Lj)) - y 1 = - 1 2 ’ P (X = (2,3)) P (X = (2,j)) = O pour j- 1’2. Quelles sont les lois de X, et X2 ? X, et X, sont-elles indépendantes ? Montrer qu’il n’existe pas de variable Y vraisemblable pour X telle que ses lois marginales (c’est-à-dire les lois de Y et Y:) soient les lois uniformes sur E, et E2 . b. On suppose maintenant que X suit la loi uniforme sur E . Quelles sont les lois de XI et X2 ? X, et X, sont-elles indépendantes ? Montrer que toute Y est vraisemblable pour X, puis que : K V , X ) 2 K(Y,,XI)+K(Yz.X,) (on pourra utiliser 4.c.) avec v(ul, u2) = vl (q) + vz (a.) pour un choix judicieux de v, et v2). Montrer qu’il y a égalité lorsque YI et Y2 sont indépendantes. En déduire que H (Y) 6 H (Yl) + H (Y?) avec egalite lorsque Y, et Y, sont indépendantes. ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES : épreuves coiiiiiiunes 1996 coin p os i t ioii de Mat 11 é iii a t i qu e s 3 / 4 83 DEUXIGME PARTIE Dans cette partie E = N, donc n’est plus fini. On suppose que X suit une loi de Poisson de paramètre Y est une variable aléatoire a valeurs dans {O, . . ., n ) pour un n E N. Puisque P (X = k ) # O pour tour k E N, Y est vraisemblable pour X (au sens de la première partie) et sa vraisemblance L vérifie L ( k ) = O si k 2 n + 1 . On peut donc encore définir l’entropie relative de Y pour X par : A ( A > O). K (Y, X) = 2 I# (L (k)) P (X = k ) = E II# (L (X))] . k - O A n 11.1. Pour n E N* et n 2 A , Y,, est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de parambres n et - . On note L,, sa vraisemblance pour X . n - k a. Montrer que pour k E { O , . .., n - l } , L,, ( k + 1) = L,, ( k ) ~ n - A En déduire que : 6. Déterminer L, (O). Montrer alors que : k - 1 (on pourra regarder le signe de C In (1 - (i/ n))) . i- O En déduire que K ( Y , , X) tend vers O quand n tend vers l’infini. m 11.2. On note d(Y, X) = 2 I P (Y = k ) - P (X = k)J k - O u. Vérifier que d (Y, X) est bien défini et que d (Y, X) = E [IL (X) - 1 11. 6. Pour x 2 0,onpose c p ( x ) = ( ~ ( x ) + l - x ) ( 4 + 2 ~ ) - 3 ( ~ - 1 ) ~ . Calculer cp’ (x) (pour x > O), cp’ (l), cp (1). Etudier les variations de cp’ (on pourra utiliser 1.1 .b.). En déduire que cp (x) 2 O. Quand y a-t-il kgalité ? c. On rappelle que si Z et Z’ sont des variables aléatoires positives ou nulles, E [ p l < Jm. Déduire de ce qui précède que : d ( Y , X ) < J m - . 11.3. Montrer a l’aide de 1. et 2. que d(Y,, X) tend vers O quand n tend vers l’infini. Qu’en déduit-on pour P (Y,l = k ) , k fixé? 84 ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES : épreuves coiiiiiiunes 1996 coiiipositioii de Mathématiques 4/4 TROISIeME PARTIE Dans cette partie on considère des variables aléatoires réelles (X, Y, ...) dont la loi admet une densité La vraisemblance de Y pour X est alors définie pour t E R par L (t) = ___ fy (‘) , et l’entropie relative cfx, fy , ...) strictement positive. fx ( f ) de Y pour X est définie par : lorsque cette intégrale est absolument convergente. IIL.1. Pour 8 > O , on considère des variables X, dont la loi a pour densité fe ( t ) = 8 exp (-28 Ill). CI. Calculer K (8,O’) = K (X,, Xe() pour 8 et 8’ strictement positifs. existe et la calculer. K (e,ei) b. Montrerque lim tf’ - (e C . On considère la densité précédente comme une fonction de deux variables f(8, t ) = 8 exp (-28 1 il), 8 > O et t E R . af ae Calculer - (O, t ) , puis : N.B. - Dans la formule précédente / désigne le quotient. d. Comparer J (8) et la limite obtenue au b. uploads/s3/ m-963-buea.pdf