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ECRI COME COME Banque d’´ epreuves communes aux concours des Ecoles esc bordeau

ECRI COME COME Banque d’´ epreuves communes aux concours des Ecoles esc bordeaux / esc marseille / icn nancy / esc reims / esc rouen / esc toulouse CONCOURS D’ADMISSION option ´ economique et technologique MATH´ EMATIQUES Ann´ ee 1995 Aucun instrument de calcul n’est autoris´ e. Aucun document n’est autoris´ e. L’´ enonc´ e comporte 4 pages Les candidats sont invit´ es ` a soigner la pr´ esentation de leur copie, ` a mettre en ´ evidence les principaux r´ esultats, ` a respecter les notations de l’´ enonc´ e, et ` a donner des d´ emonstrations compl` etes (mais br` eves) de leurs aﬃrmations. Exercice I 1. Pour n ∈N, on pose In = 2π Z 0 xn sin xdx et Jn = 2π Z 0 xn cos x (a) Justiﬁer l’existence de In et Jn. (b) Pour n ∈N, ´ etablir les relations In+1 = (n + 1)Jn −(2π)n+1 et Jn+1 = −(n + 1)Jn (c) Pour n ∈{0, 1, 2, 3}, calculer In et Jn. 2. On consid` ere f : R →R d´ eﬁnie par : f(x) = ( x 2π2 (1 −cos x) si x ∈[0, 2π] 0 si x / ∈[0, 2π] Montrer que f est la densit´ e d’une variable al´ eatoire r´ eelle X. 3. (a) D´ eterminer la fonction de r´ epartition F de X. (b) Montrer que F est d´ erivable sur R. Pr´ eciser les valeurs de F ′(0) et F ′(2π). (c) Donner le tableau de variation de F sur R. 4. Calculer l’esp´ erance math´ ematique E(X) et l’´ ecart-type σ(X) de la variable al´ eatoire X. Donner une valeur approch´ ee ` a 10−2 pr` es de E(X) et de σ(X). 1/4 5. Calculer les probabilit´ es suivantes (a) P(X > π 2 ) (b) P(X < π 2 ou X > 3π 2 ) (c) P(|X −π| ⩽π 2 ) (d) P[(X ⩾π 2 )/(X ⩽3π 2 )) (Probabilit´ e conditionnelle de l’´ ev` enement (X ⩾π 2 ) sachant (X ⩽3π 2 ) EXERCICE II Pour x ∈R, on pose : f(x) = x3 + 5x −1 1. (a) Etudier les variations de f sur R. (b) Montrer que l’´ equation x3 + 5x −1 = 0 admet une unique solution α dans R. (c) Etablir que 0 < α < 1 2. 2. Le plan ´ etant rapport´ e ` a un rep` ere orthonormal (O, − → i , − → j ), on note (C) la courbe repr´ esentative de f dans ce rep` ere. M0 est le point de (C) d’abscisse 1. La tangente ` a (C) au point M0 coupe l’axe (O, − → i ) en un point d’abscisse x1. Soit M1 le point de (C) d’abscisse x1. En tra¸ cant la tangente ` a (C) au point M1, on d´ etermine de fa¸ con analogue le point M2. On construit ainsi par r´ ecurrence une suite (Mn) de points de (C). On d´ esigne enﬁn par xn l’abscisse du point Mn. Etablir que : ∀n ∈N, xn+1 = 2x3 n + 1 3x2 n + 5. 3. (a) Pour x ∈R, on pose g(x) = 2x3 −3αx2 + 1 −5α o` u α est le nombre d´ eﬁni ` a la question 1b. Etudier les variation de g sur R. Exprimer, pour n ∈N, xn+1 −α ` a l’aide de g et xn. Etablir que ∀n ∈N, xn > α. (b) Montrer que la suite (xn) est strictement d´ ecroissante. En d´ eduire qu’elle est convergente. Quelle est la limite ? 4. (a) Pour n ∈N, on pose un = (xn+1 −α) −(xn −xn+1). Exprimer, pour n ∈N, un ` a l’aide de α et de xn. (b) Pour x ∈R, on pose h(x) = x3 −3αx2 −5x + 2 −5α. Etudier les variations de h sur [0, 1]. (c) Etablir que : ∀n ∈N, xn+1 −α < xn −xn+1. 5. (a) Ecrire en PASCAL un programme qui calcule xN et xN+1, o` u N est le plus petit entier n pour lequel la condition |xn+1 −xn| ⩽10−5 est r´ ealis´ ee. (b) Expliquer pourquoi un tel programme permet d’obtenir une valeur approch´ ee de α ` a 10−5 pr` es. 2/4 PROBLEME Notations On note M3(R) l’espace vectoriel des matrices carr´ ees d’ordre 3 ` a coeﬃcients dans R. On d´ esigne par E = (ε1, ε2, ε3) la base canonique de R3. On rappelle que, par d´ eﬁnition : ε1 = (1, 0, 0), ε2 = (0, 1, 0), ε3 = (0, 0, 1). On pose : A =   16 4 −4 −18 −4 5 30 8 −7   Enﬁn, on d´ esigne par u l’endomorphisme de R3 ayant A pour matrice dans la base E. PREMIERE PARTIE : ´ etude de la matrice A 1. (a) D´ eterminer les valeurs propres de A. (b) A est-elle inversible ? (c) A est-elle diagonalisable ? 2. On pose P =   1 0 −1 −2 1 1 2 1 −2   et D =   0 0 0 0 1 0 0 0 4   (a) Montrer qu’il existe une base E = (e1, e2, e3) de R3 telle que P soit la matrice de passage de la base E dans la base E et telle que D soit la matrice de u dans la base E. (b) En utilisant la m´ ethode du pivot de Gauss, montrer que P est inversible et calculer P −1. (c) Justiﬁer rapidement et sans calcul l’´ egalit´ e : P −1AP = D; (d) Montrer qu’une matrice ∆de M3(R) v´ eriﬁe ∆D = D∆si et seulement ∆est diagonale. DEUXIEME PARTIE : r´ esolution dans M3(R) de l’´ equation du second degr´ e : X2 = A On se propose dans cette partie de d´ eterminer toutes les matrices X de M3(R) v´ eriﬁant X2 = A 1. On consid` ere X ∈M3(R) telle que : X2 = A; on pose Y = P −1XP. V´ eriﬁer que Y 2 = D; montrer que Y D = DY, puis ´ etablir que Y est de la forme : Y =   0 0 0 0 γ 0 0 0 2γ′   avec γ ∈{−1, 1} et γ′ ∈{−1, 1}. En d´ eduire la forme de la matrice X puis montrer, sans calculer explicitement les coeﬃcients de X2, qu’une telle matrice X v´ eriﬁe bien : X2 = A. 2. Quel est le nombre m de solutions dans M3(R) de l’´ equation du second degr´ e X2 = A ? Sans calculer explicitement ces m solutions X1, X2, ..., Xm, d´ eterminer leur somme S = X1 + X2 + · · · + Xm et exprimer leur produit T = X1X2 · · · Xm en fonction de A. 3/4 TROISIEME PARTIE : calcul de An et application ` a une ´ etude de suites 1. Soit n ∈N×; calculer Dn puis en d´ eduire l’expression de An en fonction de n. 2. Soient a, b et c trois r´ eels. On consid` ere les suites (pn), (qn) et (rn) d´ eﬁnies par p0 = a, q0 = b, r0 = c et, pour tout n ∈N,    pn+1 = 16pn + 4qn −4rn qn+1 = −18pn −4qn + 5rn rn+1 = 30pn + 8qn −7rn (a) Pour n ∈N, on pose Un =   pn qn rn  . Exprimer Un ` a l’aide de A et de U0; en d´ eduire, que pour n ⩾1, les expressions de pn, qn et rn en fonction de a, b, c et de n. (b) D´ eterminer une condition n´ ecessaire et suﬃsante portant sur a, b et c pour que les suites (pn), (qn) et (rn) tendent vers une limite ﬁnie lorsque n tend vers plus l’inﬁni. Cette condition ´ etant suppos´ ee remplie, que peut-on dire des suites (pn), (qn) et (rn) ? QUATRIEME PARTIE : C(A) = {M ∈M3(R) telle que AM = MA} 1. Montrer que M ∈C(A) si et seulement P −1MP est diagonale. 2. En d´ eduire que C(A) est ´ egal ` a l’ensemble des matrices de M3(R) de la forme : aM1 + bM2 + cM3 avec (a, b, c) ∈R3 (1) o` u M1, M2 et M3 sont trois matrices que l’on d´ eterminera. 3. Montrer que (M1, M2, M3) est une famille libre d’´ el´ ements de C(A). En d´ eduire l’unicit´ e de l’´ ecriture d’une matrice M de C(A) sous la forme (1). 4/4 uploads/s3/ probleme-3.pdf