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CPGE Centre Moulay Idriss - Fès Devoir surveillé n◦1 Mardi 6 octobre 2020 MP∗(2

CPGE Centre Moulay Idriss - Fès Devoir surveillé n◦1 Mardi 6 octobre 2020 MP∗(20-21) Il sera tenu compte de la rigueur des raisonnements, la clarté de la rédaction et la qualité de la présentation. Exercice 1. On considère ⋄H = { P ∈R[X] | ∫1 0 P(t) dt = 0 } et D : H →R[X], l'application dé nie par D(P) = P ′. Montrer que D est un isomorphisme d'espaces vectoriels. ⋄Pour toute la suite, on considère ⋄ϕ : R[X] →H l'isomorphisme réciproque de D. ⋄(Bn)n la suite polynômes dé nie par la récurrence    B0 = 1. ∀n ∈N∗, Bn ∈H. ∀n ∈N∗, Bn = n · ϕ (Bn−1) . ⋄(bn)n la suite réelle dé nie par bn = Bn(0). 2. (a) Expliciter Bi pour i ∈[ [0, 4] ]. (b) Véri er que l'on a    ∀n ∈N, deg(Bn) = n. ∀(k ≤n) ∈N2, B(k) n = n! (n −k)!Bn−k (c) Comparer selon la parité de n, Bn(X) et Bn(1 −X). Prouver que pour tout entier n ≥2, Bn(0) = Bn(1), et que pout tout n ∈N∗, b2n+1 = 0. 3. (a) Montrer que si h ∈C1([a, +∞[, R), est telle que h et h′ admettent des limites nies en +∞, alors lim x→+∞h′(x) = 0. , →Si besoin on pourra admettre pour la suite la généralisation sous la forme suivante : Si h ∈Cm([a, +∞[, R), est telle que h et h(m) admettent des limites nies en +∞, alors pour tout k ∈[ [1, m −1] ] toutes les dérivées lim x→+∞h(k)(x) = 0 admettent des limites nulles en +∞. (b) Prouver que pour toute fonction f ∈C2n+2([0, 1], R) f(1) −f(0) = f ′(0) + f ′(1) 2 − n ∑ j=1 b2j (2j)! ( f (2j)(1) −f (2j)(0) ) − 1 (2n + 1)! ∫1 0 B2n+1(t)f 2n+2(t) dt. (c) ⋄Soient a ∈R et g : [a, +∞[→R une fonction de de classe C∞. ⋄On considère la série dé nie par sa suite des sommes partielles Sm = ∑ a≤k≤m g(k). i. Montrer que pour tous entiers q > p ≥a et r ∈N∗on a Sq −Sp = g(q) −g(p) 2 + ∫q p g(t) dt + r ∑ j=1 b2j (2j)! ( g(2j−1)(q) −g(2j−1)(p) ) + Rp,q,r. où Rp,q,r = 1 (2r + 1)! q−1 ∑ n=p ∫n+1 n B2r+1(x −n)g(2r+1)(x) dx. ii. On suppose en plus que g véri e les quatre conditions ✓ ∫+∞ a g(t) dt est convergente. ✓ ∑ n≥a g(n) est convergente, de somme notée S. ✓ lim x→+∞g(x) = 0. ✓Il existe r ∈N∗, tel que g(2r+1) soit intégrable sur [a, +∞[. Prouver alors que Rp,q,r admet une limite notée Rp,r lorsque q →+∞et que l'on a S −Sp = −g(p) 2 + ∫+∞ p g(t) dt − r ∑ j=1 b2j (2j)!g(2j−1)(p) + Rp,r. 1 CPGE Centre Moulay Idriss - Fès Devoir surveillé n◦1 Mardi 6 octobre 2020 MP∗(20-21) 4. Applications (a) Application 1 ⋄On rappelle que ζ est dé nie pour x > 1 par ζ(x) = +∞ ∑ n=1 1 nx . , →Pour m ∈N donné, on se proposer de calculer ζ(2m + 2). i. Montrer que pour tout entier naturel non nul n ∫1 0 B2m+2(t) cos(2nπt) dt = (−1)m (2m + 2)! (2nπ)2m+2 . ii. En déduire une expression intégrale de la somme partielle N ∑ n=1 1 n2m+2 . iii. Montrer que x 7→B2m+2(x) −b2m+2 sin(πx) admet un prolongement continue sur [0, 1]. iv. Conclure que ζ(2m + 2) = (−1)m(2π)2m+2b2m+2 2((2m + 2)!) . (b) Application 2 Établir, à laide des résultats de la question 3. le développement asymptotique ln n! = ( n + 1 2 ) ln(n) −n + ln √ 2π + r ∑ k=1 b2k (2k −1)(2k) 1 n2k−1 + O ( n−2r) Problème ⋄K désigne l'un des corps R ou C ; n un entier naturel supérieur ou égal à 2. ⋄L'espace vectoriel canonique Kn, est muni de sa base canonique Bc = (e1, · · · , en). ⋄φ1, · · · , φn désignent les formes linéaires coordonnées dans la base canonique Bc ∀x ∈Kn, x = n ∑ k=1 φk(x) · ek ⋄On munit Kn d'une structure d'algèbre où La multiplication est dé nie par : (x1, · · · , xn) · (y1, · · · , yn) = (x1y1, · · · , xnyn). Le neutre est : e = e1 + · · · + en = (1, · · · , 1). ⋄La matrice d'une base B de Kn, est la matrice de passage de Bc à B, elle est notée MB. ⋄Une forme linéaire φ sur Kn est dite multiplicative si pour tous x, y ∈Kn, φ(xy) = φ(x)φ(y). 5. Montrer que φ1, · · · , φn sont les seules formes linéaires multiplicatives non nulles sur Kn. 6. ⋄Soient f un automorphisme de l'algèbre Kn, et φ une forme linéaire non nulle multiplicative. (a) Montrer que φ ◦f est une forme linéaire multiplicative non nulle. (b) En déduire tous les automorphismes de l'algèbre Kn. 7. Soit a = (a1, · · · , an) ∈Kn. (a) Véri er que (X −a1)(X −a2) · · · (X −an) est annulateur de a. (b) Montrer que Kn = K[a] , si et seulement si a1, · · · , an sont toutes distinctes. 8. ⋄Soit A une sous-algèbre de Kn. ⋄On note φ1, · · · , φn les restrictions respectives de φ1, · · · , φn à A. ⋄On suppose qu'il existe k ∈[ [1, n −1] ] tel que φ1, · · · , φk soient distinctes, et que, pour tout i > k, il existe j ≤k véri ant φi = φj. (a) Établir que φ1, · · · , φn sont toutes non nulles. (utiliser l'élément neutre e). (b) Montrer que, pour tout (i, j) ∈[ [1, k] ]2 avec i ̸= j, il existe uij ∈A tel que { φi(uij) = 1 φj(uij) = 0 ; En donner une expression. (s'inspirer de 7.(a)). (c) En déduire que pour tout q ∈[ [1, k] ], il existe wq ∈A tel que { φq(wq) = 1 φj(wq) = 0, ∀j ∈[ [1, k] ]\{q} (exprimer wq en fonction des uqj). (d) Les vecteurs w1, · · · , wk sont-ils liés ? Quel est leur somme ? Quel est le sous-espace vectoriel qu'ils engendrent ? 2 CPGE Centre Moulay Idriss - Fès Devoir surveillé n◦1 Mardi 6 octobre 2020 MP∗(20-21) ⋄Une base B = (v1, · · · , vn) de Kn est appelée base cohérente de Kn si elle véri e la propriété ∀(i, j) ∈[ [1, n] ]2, ∃k ∈[ [1, n] ] , vi · vj = vk. ⋄Une base B de Kn est dite base cohérente inversible, si B est une base cohérente, et tout élément a de B est inversible dans l'algèbre Kn. 9. (a) Établir que, si B est une base cohérente de Kn, et f est un automorphisme d'algèbre de Kn, alors f (B) est une base cohérente. (b) Montrer que, si M ∈Mn(K) est la matrice d'une base cohérente B, alors il en est de même de toute matrice déduite de M par permutation des lignes ou par permutation des colonnes. 10. Soit B une base cohérente de Kn, et a un élément de B. (a) Prouver que la forme linéaire qui vaut 1 pour chacun des vecteurs de B est multiplicative. (b) Montrer que la matrice MB de B, comporte une seule ligne dont tous les termes sont égaux à 1. (c) Donner les matrices de toutes les bases cohérentes de K2. (d) Établir l'existence d'un entier p ∈N∗tel que ap+1 = a. (Exploiter la suite (ak)k). Dans le cas de l'algèbre Rn, trouver une valeur p indépendante de B et de a. 11. Montrer que le nombre de bases cohérentes de Kn est ni. 12. (a) Soit a ∈Kn, et µa l'endomorphisme de Kn, dé ni par µa(x) = a · x. Calculer la trace de µa en fonction des φi(a). , →La trace de µa sera notée Tr(a) et appelée trace de a. (b) Soient B une base cohérente de Kn, et a un élément de B. Montrer que Tr(a) ∈[ [0, n] ]. À quelle condition a-t-on Tr(a) = n ? 13. Soit B une base cohérente de Kn. (a) Établir que MB comporte au moins 2n −1 coe cients non nuls. (b) On suppose que MB comporte exactement 2n −1 coe cients non nuls. Établir que MB se déduit par permutation de lignes et de colones de la matrice N dont tous les éléments sont nuls sauf ceux de la première ligne et de la diagonale qui, eux, valent 1. (c) Montrer que N est bien la matrice d'une base cohérente. 14. (a) Montrer que, si B est une base cohérente inversible, alors l'un des vecteurs de B est e. (b) Montrer que les coe cients de la matrice MB d'une base cohérente inversible sont tous uploads/s3/ ds-1-20-21.pdf