Exercices de Math´ ematiques Partie r´ eelle, partie imaginaire ´ Enonc´ es ´ E

Exercices de Math´ ematiques Partie r´ eelle, partie imaginaire ´ Enonc´ es ´ Enonc´ es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Mettre sous forme cart´ esienne les nombres complexes : a = 2 + 5i 1 −i + 2 −5i 1 + i , b = 3 + 6i 3 −4i et c = 1 + i 2 −i 2 + 1 −7i 4 + 3i. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] R´ esoudre le syst` eme  iz −2ω = −4 + 3i 2¯ ω + ¯ z = 3 dans l C. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soient u et v deux nombres complexes de module 1, tels que uv ̸= −1. Montrer que Z = u + v 1 + uv est un r´ eel. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] A quelle condition Z = z2 + z + 1 est-il r´ eel ? Imaginaire pur ? Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Calculer lim n→∞ n Y k=1 1 + k(k + 1) + i 1 + k(k + 1) −i. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c ⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´ eserv´ es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ ee sont interdites. Exercices de Math´ ematiques Partie r´ eelle, partie imaginaire Indications, r´ esultats Indications ou r´ esultats Indication pour l’exercice 1 [ Retour ` a l’´ enonc´ e ] On trouve a = −3, b = −3 5 + i6 5, et c = −1 −i. Indication pour l’exercice 2 [ Retour ` a l’´ enonc´ e ] On trouve z = 1 + 2i et ω = 1 −i. Indication pour l’exercice 3 [ Retour ` a l’´ enonc´ e ] V´ erifier que Z = Z, en utilisant les propri´ et´ es de la conjugaison. Indication pour l’exercice 4 [ Retour ` a l’´ enonc´ e ] Poser z = x + iy, avec (x, y) ∈IR2. – Z est r´ eel ⇔(y = 0 ou x = −1 2) : c’est la r´ eunion de deux droites. – Pour Z imaginaire, on obtient une hyperbole ´ equilat` ere. Indication pour l’exercice 5 [ Retour ` a l’´ enonc´ e ] Remarquer que uk = ak+1 bk ak bk+1 avec ak = 1 + ki et bk = 1 −ki. Page 2 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c ⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´ eserv´ es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ ee sont interdites. Exercices de Math´ ematiques Partie r´ eelle, partie imaginaire Corrig´ es Corrig´ es des exercices Corrig´ e de l’exercice 1 [ Retour ` a l’´ enonc´ e ] – a = 2Re 2 + 5i 1 −i = 2Re (2 + 5i)(1 + i) (1 −i)(1 + i) = Re ((2 + 5i)(1 + i)) = −3. – b = (3 + 6i)(3 + 4i) (3 −4i)(3 + 4i) = −15 + 30i 25 = −3 5 + i6 5 – c = 2i 3 −4i + 1 −7i 4 + 3i = −2 4 + 3i + 1 −7i 4 + 3i = −1 + 7i 4 + 3i = (1 + 7i)(3i −4) 25 = −1 −i Corrig´ e de l’exercice 2 [ Retour ` a l’´ enonc´ e ] n iz −2ω = −4 + 3i 2¯ ω + ¯ z = 3 ⇔ n iz −2ω = −4 + 3i 2ω + z = 3 ⇔  iz −2ω = −4 + 3i (1 + i)z = −1 + 3i L’unique solution est z = 1 2(−1 + 3i)(1 −i) = 1 + 2i et ω = 1 2(3 −z) = 1 −i Corrig´ e de l’exercice 3 [ Retour ` a l’´ enonc´ e ] Il suffit de v´ erifier lZ = Z. Puisque |u| = |v| = 1, on a u = 1 u et v = 1 v. On obtient Z = u + v 1 + uv = 1 u + 1 v 1 + 1 u 1 v = u + v uv + 1 = Z. Corrig´ e de l’exercice 4 [ Retour ` a l’´ enonc´ e ] Posons z = x + iy, avec (x, y) ∈IR2. On a : Z = x2 −y2 + x + 1 + iy(2x + 1). – Z est r´ eel ⇔y(2x + 1) = 0 ⇔(y = 0 ou x = −1 2). – Z est imaginaire pur⇔x2 −y2 + x + 1 = 0 ⇔y2 −(x + 1 2)2 = 3/4. Les points-images m(z) des solutions forment l’hyperbole ´ equilat` ere dont le centre est en (−1 2, 0), d’axe transverse x = −1 2, et d’asymptotes y = ±(x + 1 2). Corrig´ e de l’exercice 5 [ Retour ` a l’´ enonc´ e ] On a : uk = 1 + k(k + 1) + i 1 + k(k + 1) −i = (1 + (k + 1)i)(1 −ki) (1 + ki)(1 −(k + 1)i) = ak+1 bk ak bk+1 avec  ak = 1 + ki bk = 1 −ki On en d´ eduit n Y k=1 1 + k(k + 1) + i 1 + k(k + 1) −i = n Y k=1 ak+1 bk ak bk+1 = an+1b1 a1bn+1 = 1 −i 1 + i 1 + (n + 1)i 1 −(n + 1)i Finalement : lim n →∞ n Y k=1 1 + k(k + 1) + i 1 + k(k + 1) −i = i −1 i + 1 = i. Page 3 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c ⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´ eserv´ es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ ee sont interdites. uploads/s3/ m-ea-com-jmf-01.pdf

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