Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Série de Fourier et transformé de Fourier. I- Série de Fourier: Tout signal peu

Série de Fourier et transformé de Fourier. I- Série de Fourier: Tout signal peut être représenté de 2 manières: - En fonction de temps x(t) - En fonction de fréquence X(f) et X(w) L’outil mathématique qui permet de passer d’une représentation à l’autre est : - La série de Fourier si x(t) est périodique. - La transformée de Fourier si x(t) est non périodique. II-Enoncé du théorème de Fourier : Il est bien connu que les signaux continus périodiques contiennent des fréquences harmoniques. Donc tout signal périodique x(t) de période T0=1/f0 peut se décomposer en une somme de fonctions sinusoïdale de fréquence (fn= nf0) multiple de la fréquence fondamentale. Il existe plusieurs formes de série de Fourier: 1) Forme trigonométrique : Soit : x(t) = a0 + a1 cos w0t + b1 sin w0t + a2 cos 2 w0t + b2 sin 3 w0t +… an et bn sont les coefficients de la série de Fourier. a0 appelé valeur moyenne ou composante continue (terme constant) du signal. Ils sont déterminés à partir des relations suivantes : N.B : si x(t)est une fonction paire c.-à-d. x(t) = x(-t) alors ∀ n , bn =0 si x(t)est une fonction impaire c.-à-d. x(t) = - x(-t) alors ∀ n , an =0 2) Forme polaire : Le terme général x(t )= an cos(nω0t) +bn sin(nω0t t) =An cos(nω0t+ ϕn) est appelé harmonique de rang n. Donc : A1 cos (w0t+φ1) fondamental  An cos (w0t+φn) harmonie de l’ordre (n-1) 3) Forme complexe ou forme exponentiel : Tout signal à temps continu s(t) périodique de période To peut s’écrire : En utilisant les formules d’Euler : On montre que tout signal à temps continu s(t) périodique de période To peut également s’écrire : t0 est une valeur quelconque. En choisissant t0 = - T0/2 Cn est un nombre complexe donc Cn * = C-n |C n|= |C−n| III- Puissance d’un signal périodique : Si l’on suppose que le signal x(t) est une tension aux bornes d’une résistance, la puissance moyenne fournit à la résistance est : Donc La puissance d’un signal périodique x(t) de période To se calcule comme moyenne quadratique du signal sur une période. IV- Théorème de Parseval : Le théorème de Parseval sur les séries de Fourier établit que, si x(t) est un signal périodique de période T0, on a : Cette relation exprime que la puissance moyenne de x(t) est fournie par la somme des carrés de l’amplitude de tous les harmoniques du spectre. V- Transformée de Fourier: On utilise la transformée de Fourier pour les signaux apériodique pour passer du domaine temporel x(t) au domaine fréquentiel X(f) ou X(w). X(f) est la transformée de Fourier de x(t) VI- Transformée de Fourrier inverse : On utilise la transformée de Fourrier inverse pour les signaux apériodique pour passer du domaine fréquentiel X(f) au domaine temporel x(t). VII- Propriétés de la Transformée de Fourrier : Pour designer une paire de transformée de Fourier nous utilisons la notion suivante : VIII- Transformée de Fourier de quelques signaux : IX- Convolution : 1) Definition : La convolution de deux signaux x1(t) et x2(t) est une opération que l'on note x1(t) * x2(t) engendre un nouveau signal x(t) tel que : 2) Propriétés de la convolution : 3) Convolution avec la fonction de Dirac δ(t) : 4) Théorème de convolution : Considérons deux signaux x1(t) et x2(t) dont les transformées de Fourier respectives sont X1(w) et X2(w), on a les deux relations suivantes : La relation (1) est connue sous le nom de théorème de lu convolution temporelle, tandis que la relation (2) constitue le théorème de la convolution fréquentielle. 5) Propriétés de Dirac: Elément neutre : x(t) ¿ δ(t) =x(t) Translation : x(t) ¿ δ(t – t0) =x(t – t0) X- Corrélation et densité spectrale : Soit x1(t) et x2(t) deux signaux à valeurs réelles. On définit l'intercorrélation R12(τ) de ces deux signaux au moyen de la relation suivante : La fonction d'autocorrélation du signal x1(t) , intercorrélation du signal x1(t) avec lui-même, se définit au moyen de la relation suivante : Propriétés des fonctions de corrélation où E est l'énergie contenue dans le signal. Densité spectrale énergétique : Soit R11(τ) la fonction d'autocorrélation du signal x1 (t). L'intégrale définie S11 qui suit est appelée densité spectrale énergétique du signal x1 (t). Prenons maintenant les transformées de Fourier inverses des membres de cette relation, il vient Si le signal x1 (t) est réel, on a les relations : En faisant t = O, on obtient : et en utilisant la relation suivante : on aura : uploads/s3/ serie-de-fourrier-et-transformee-de-fourrier.pdf