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Statistiques Analyse combinatoire  Permutations  Combinaisons  Arrangements

Statistiques Analyse combinatoire  Permutations  Combinaisons  Arrangements Notion de factoriel Par exemple : 5!  5 factoriel (le point d’exclamation signifie factoriel) = 5∗4∗3∗2∗1=120 Nous trouvons cette fonction sur notre machine à calculer. Par définition : 0! = 1 Formule : n!=n∗(n−1)∗(n−2)∗…∗1 100! 98! =100∗99∗98∗97∗…∗1 98∗97∗…∗1 =100∗99 1 =9' 900 Permutations simples On prend tous les objets (cela peut être des personnes, des lettres, etc.) On détermine le nombre d’ordres différents de ces objets. Tous les objets sont différents. Exemple : oui (trois objets  « o » « u » « i ») Enumération : oui, oiu, uio, uoi, iou, iuo  6 possibilités  P3=3!=6 Formule : 3!=3∗2∗1=6 pn=n! Permutations avec répétitions On prend tous les objets. On détermine le nombre d’ordres différents de ces objets. Certains objets peuvent être identiques Exemple : non (trois objets, mais deux identiques) Enumération : non, nno, onn  3 possibilités 3 objets dont 2 semblables et 1 unique Formule : 3! 2!∗1!= 3∗2∗1 2∗1∗1=6 2=3 pn¿ p3¿ Autre exemple : Suisse  p1(3,1,1,1)= 6! 3!∗1!∗1!∗1! =720 6 =120 Combinaisons simples On fait un choix de k objets parmi n objet Tous les objets sont différents. L’ordre n’a pas d’importance Exemple : course de chevaux  5 chevaux au départ (A, B, C, D, E) On s’intéresse au 3 premières places dans le désordre (tiercé dans le désordre) Enumération : ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE  10 possibilités Formule : Cn k= n! (n−k)!∗k ! C5 3= 5! (5−3)!∗3!=5∗4∗3∗2∗1 2∗1∗3∗2∗1 =20 2 =10 Machine : 5nCr3=10 Arrangements simples On fait un choix de k objets parmi n objet Tous les objets sont différents. L’ordre a de l’importance Exemple : 5 chevaux au départ (A, B, C, D, E) On s’intéresse au 3 premières places dans l’ordre (tiercé dans l’ordre) Enumération : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA ABD, ADB BAD, BDA, DAB, DBA … 60 possibilités CDE, … Formule : An k= n! (n−k )! A5 3= 5! (5−3)!=5∗4∗3∗2∗1 2∗1 =60 Combinaisons avec répétitions On fait un choix de k objets parmi n objets On peut prendre plusieurs fois le même objet L’ordre n’a pas d’importance (26 et 62 sont les mêmes donc 1 solution) Exemple : 3 articles en stock : vin, chocolat, biscuits  n = 3 On forme des lots de 2 articles  k = 2 Enumération : vin + vin, vin + chocolat, vin + biscuits chocolat + chocolat, chocolat + biscuits 6 possibilités biscuits + biscuits Formule : ´ Cn k= (n+k−1)! (n−1)!∗k ! ´ C3 2= (3+2−1)! (3−1)!∗2! = 4 ! 2!∗2!=6 Arrangement avec répétitions On fait un choix de k objets parmi n objets On peut prendre plusieurs fois le même objet L’ordre a de l’importance (26 et 62 sont différents, donc 2 solutions) Exemple : On forme des nombres de 2 chiffres avec les 3 premiers nombres (1 ; 2 ; 3)  n = 3 et K = 2 Enumération : 11, 12, 13 21, 22, 23 9 possibilités 31, 32, 33 Formule : ´ An k= nk ´ A3 2 = 32= 9 Faire exercices : 6 ; 9 ; 12 ; 13 ; 14  pages 8 et 9 Exercice 11  réponses : a) 5'245’786 b) 10'737’573 Notion d’événement Exemple : lance d’un dé (6 faces) E = ensemble fondamental  E = {1,2,3,4,5,6} Sous-ensembles d’événements possibles : A = le numéro est pair  A = {2,4,6} B = le numéro est supérieur à 3  B = {4,5,6} C = le numéro est 5  C = {5} Si le « 4 » sort, les sous-ensembles A et B sont réalisés, mais C non. L’ensemble fondamental est toujours réalisé ; on parle d’événement certain. Le sous-ensemble vide, noté  représente l’événement impossible ; n’est jamais réalisé. P.ex. D = {7} Probabilités simples p=P ( A)=3 6 = casfavorables cas possibles =1 2=0.5=50% 0≤p≤10%≤p≤100% Formule=P( A )= n N Probabilité vaut 0 quand on a un événement impossible. Probabilité vaut 1 quand l’événement est certain. Evénement contraire C = {5} ; événement contraire : ´ C = {1,2,3,4,5,6,} P (C)=1 6 P ( ´ C)=5 6 →P (C )+P ( ´ C )=1 6 + 5 6=1 p+q=1 Représentation graphique A = le numéro est pair  A = {2,4,6} B = le numéro est supérieur à 3  B = {4,5,6} C = le numéro est 5  C = {5} Règle de l’intersection P (A et B)=P ( A ∩B )=2 6= 1 3 P (A∪B)=P¿ C 6 4 5 3 B A A 2 E 1 4 6 =? 3 6+ 3 6−2 6 →OK Règle de l’union : P (A ouB )=P (A∪B)= 4 6 = 2 3 Faire exercices 1-5 p. 11 Probabilités conditionnelles P(A/B) se lit probabilité de A étant donné B (ou si B). A : numéros pairs B : numéros > 3 Formule : P( A B)=P( A∩B) P(B) Exemple : P( A B)=2/6 3/6= 2 6∗6 3 =2 3 Exemple 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 E= 31 32 33 34 35 36  36 possibilités lorsqu’on lance les dés 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 A : {21 22 23 24 25 26 12 32 42 52 62}  11 possibilités B : {15 24 33 42 51}  5 possibilités AnB : {24 42}  2 possibilités P(A/B) = P(A ∩B) P(B) =2/36 5/36= 2 36∗36 5 =2 5=nbé l é mentsde A∩B nbé l é mentsde B A B A 2 5 4 4 6 Multiplication des probabilités P( AetB)=P( A∩B)=P( A)∗P(B) a) Exemple : 12 articles dont 4 défectueux et 8 non défectueux. P(A1) = 8 12 P(A2) = 7 11 8 12∗7 11 ∗6 10 = 336 1320=0,2545→25,45% P(A3) = 6 10 cas favorables cas possibles = C8 3 C12 3 = 56 220=0.2545 b) Quelle est la probabilité de tirer 1 défectueux et deux biens ? P(A1) = 4 12 P(A2) = 8 11 4 12∗8 11 ∗7 10 = 224 1320 →dbb P(A3) = 7 10 bdb  4 12∗8 11 ∗7 10 = 224 1320 Bbd  8 12∗7 11 ∗4 10 = 224 1320  224 1320∗3= 672 1320=0,51 Permutations avec répétitions = 3! 1!∗2!= 6 2=3 Avec combinaisons : C4 1∗C8 2 C12 3 = 4∗28 220 =0.51 Combinaisons uniquement avec tirage sans remise CHAPITRE 3 INTRODUCTION AUX LOIS DE PROBABILITE Nombre de points obtenus : xi Effectifs ni Fréquences f i Pourcentages % ni∗xi f i∗xi (1) (2) (3) (4) (5) (6) 1 9 0.18 18 9 0.18 2 8 0.16 16 16 0.32 3 6 0.12 12 18 0.36 4 6 0.12 12 24 0.48 5 10 0.2 20 50 1 6 11 0.22 22 66 1.32 Total 50 1 100 183 3.66 1. a) ´ x=∑ni∗xi ∑ni = 183 50 =3.66 b) ´ x=∑f i∗xi=3.66 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a) 1∗10 12 6 =1.6∗10 11 1.6∗10 11 1∗10 12 =0.16 Nombre de points obtenus xi Effectifs devinés ni Fréquence attendue f i PROBABILITE pi pi∗xi 1 1. ´ 6∗¿ 1011 0.1 ´ 6 1/6 1/6 2 1. ´ 6∗¿ 1011 0.1 ´ 6 1/6 2/6 3 1. ´ 6∗¿ 1011 0.1 ´ 6 1/6 3/6 4 1. ´ 6∗¿ 1011 0.1 ´ 6 1/6 4/6 5 1. ´ 6∗¿ 1011 0.1 ´ 6 1/6 5/6 6 1. ´ 6∗¿ 1011 0.1 ´ 6 1/6 6/6 Total 1. ´ 6∗¿ 1011 1 1 21/6 b) ∑f i∗xi=0.1´ 6∗1+0.1 ´ 6∗2+…+0.1 ´ 6∗6=3.5 Espérance mathématique : E (x )=∑pi∗xi Ou : E (x )=∑xi∗p(x¿¿i)¿ Distribution de probabilités discrètes X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 P (X=5 )= 4 36=1 9 Si on lance 900 fois les deux dés, on aura : 900∗1 9 =100 fois la somme 5 Faire exercices 1 et 2 page 18 ϵ=1 Moyenne pondérée ´ x=∑ni∗xi ∑ni ´ x=∑f i∗xi  Espérance mathématique : E (x )=∑pi∗xi E (x )=∑xi∗p(xi) Variance : σ 2=∑ni(xi−´ x) 2 ∑ni σ 2=∑f i( xi−´ x) 2  Variance : Var (x)=∑pi(xi−∑(x )) 2 Ecart-type = √variance Coefficient de variation = écart−type ∑(x ) ∗100 0 – 10%  dispersion faible 10 – 20%  dispersion moyenne > 20%  dispersion élevée Distribution de probabilité pour l’exemple du dé xi 1 2 3 4 5 6 P(xi) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 ∑=1 xi∗P¿) 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 7/6 E (x )=∑xi∗p (xi)= 21 6 =3.5) (xi−E (x )) -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 (xi−E (x )) 2 6.25 2.25 0.25 0.25 2.25 6.25 pi(xi−E (x )) 2 1.042 0.375 0.04 2 0.04 2 0.37 5 1.04 2 Var (x)=∑pi(xi−∑(x)) 2=2.918 Ecart−type=√2.918=1.70francs Coeff .de var.=1.70 3.50∗100=48.57% uploads/s3/ statistiques-2e-annee.pdf