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L’école de Mathématiques : Préparation Intensive aux Concours . www.ecoledemathematiques.com Le génie c’est 90% de Transpiration et 10% d’inspiration! 1/4 L’ECOLE DE MATHEMATIQUE : Préparation Intensive aux concours ISSEA/EAMAC/EAMAU/IST/ENSP/IUT/ENS/FGI/ISS/IMIP/EGEM…… Contacts: 693 763 328 / 679 116 446 /683 502 213/ 699 054 238 www.ecoledemathematiques.com Lieux : ECOLE MON SEIGNEUR ALBERT NDONGMO (ENTREE IUT Douala) MENOUA ESPOIR COLLEGE (QUATIER FOTO DSCHANG) TRAVAUX DIRIGES DE MATHEMATIQUES N01 : fiche 2 Thèmes abordés : limites, continuité, théorème de Bolzano, dérivation Exercice 1 : Répondre par Vrai ou Faux 1.) Si lim ( ) 0 x a f x   alors 1 lim ( ) x a f x   2.) Si 0 x  , 1 0 ( ) f x x   alors on peut déterminer le comportement de f en : a.) 0 b.)  3.) Si f admet pour limite l en  et si 0 x  , 1 0 ( ) 1 f x x   alors 0 1 l  4.) Si f est continue sur   ;0  et sur   0; alors f est continue sur R 5.) Si f est continue sur   ;0  et sur   0; alors f est continue sur R 6.) Si f est continue sur   0;1 alors f est bornée sur   0;1 7.) Si f est continue sur   0;1 alors f est bornée sur   0;1 8.) Soit f une fonction continue sur  ; a b . S’il existe   ; c a b  tel que f(c)=0 alors f(a) et f(b) sont de signes contraires 9.) Si f est dérivable sur I alors f est continue sur I 10.) Si f est continue sur I alors f est dérivable sur I 11.) La fonction ln x x est dérivable sur   1; 12.) La fonction x x x est dérivable sur   0; 13.) Si f est dérivable et strictement croissante sur un intervalle I alors 1 f  est dérivable sur f(I) 14.) Si f est dérivable sur   ;0  et sur   0; alors f est dérivable sur R 15.) Soit f une fonction dérivable sur R, f est strictement croissante sur R ssi , '( ) 0 x R f x   L’école de Mathématiques : Préparation Intensive aux Concours . www.ecoledemathematiques.com Le génie c’est 90% de Transpiration et 10% d’inspiration! 2/4 16.) Il existe des fonctions numériques d’une variable réelle définies en tout point et continues en aucun. Si l’assertion est vraie, donner un exemple. 17.) Toute fonction numérique d’une variable réelle qui admet une dérivée première continue est deux fois dérivable. 18.) Il existe des fonctions numériques d’une variable réelle continues en tout point et dérivables en aucun. Si l’assertion est vraie, donner un exemple. Exercice 2 1.) Trouver les solutions dans R, si elle existe de l’équation 1 x x e   2.) Montrer qu’il existe un unique   0; x  tel que 1 ln x x e  . 3.) On considère la fonction f définie sur R par : ( ) ( ) ( ) f x E x x E x    Montrer que f est continue sur R Exercice 3 On considère la fonction f définie sur R par : ln ( ) x f x x x   et (C) sa courbe 1.) Etudier la continuité de f sur son domaine de définition 2.) Montrer que f s’annule sur   0;1 3.) Etudier les branches infinies de (C) Exercice 4 On considère la fonction f définie sur R par : ( ) 1 x f x x  1.) Etudier la continuité de f 2.) Montrer que f possède une fonction réciproque 1 f  3.) Donner les propriétés de 1 f  sans calcul 4.) Déterminer 1 f  Exercice 5 L’école de Mathématiques : Préparation Intensive aux Concours . www.ecoledemathematiques.com Le génie c’est 90% de Transpiration et 10% d’inspiration! 3/4 On considère une fonction     : 0;1 0;1 f  continue sur   0;1 1.) Montrer qu’il existe un réel c de   0;1 tel que f(c)=c 2.) Montrer que l’équation cos 2 x x   admet au moins une solution sur   0;1 Exercice 6 Soit f une fonction continue en 0. On suppose que : , ( ) 2 x x R f x f         1.) Montrer que , ( ) 2n x n N f x f         2.) En déduire que f est constante sur R Exercice 7 1.) Etudier la continuité et la dérivabilité de la fonction f définie sur R par : 1 ( ) ,,, 0 1 (0) 0 x x f x si x e f          2.) Soit f la fonction définie sur   0; par ( ) cos f x x  a.) Montrer que f est dérivable sur   0; b.) F est-elle de classe 1 C sur   0;? 3.) Déterminer la dérivée nième de f définie par   1 n  1 ( ) ln n f x x x   Exercice 8 1.) Soit la fonction g donnée sur R.par 1 ( ) sin g x x  . Montrer que g n’a pas de limite en 0. 2.) Montrer que la fonction f définie sur   0; par f (x) =cos(ln(x)) n’admet pas de limite en . 3.) Calculer 0 1 lim 1 x E x x E x x               et 1 lim 1 x E x x E x x              4.) Soit : f R R une fonction continue en 0 et soit k N   ; 1 k  tels que x R  , ( ) ( ) f kx f x  Montrer que f est une fonction constante. 5.) Déterminer toutes les fonctions : f R R continues telles que x R  , (2 ) ( ) f x f x  6.) Soit une fonction   0; R  continue sur l’intervalle   0; telle que   0; x   ; 2 ( ) ( ) f x f x  . Déterminer la fonction f . Peut-on étendre sur R L’école de Mathématiques : Préparation Intensive aux Concours . www.ecoledemathematiques.com Le génie c’est 90% de Transpiration et 10% d’inspiration! 4/4 Exercice 9 1.) Soit x R  . Etudier la suite   n u définie par : 0 1 1 2 n n u x u u          2.) Soit f une fonction de R vers R continue vérifiant : (2 1) ( ) f x f x   ; montrer que x R  , ( ) ( 1) f x f   Exercice 10 1.) On considère une fonction   : 0; f R  continue au point 1. On suppose que   , 0; x y    ( ) ( ) ( ) f xy f x f y   . Déterminez toutes les fonctions f vérifiant ces propriétés. 2.) Soit f une fonction de R vers R continue vérifiant : , x y R   ( ) ( ) ( ) f x y f x f y   a.) Montrer que x R  , ( ) 0 f x  b.) On suppose qu’il existe x R  tel que f (x) = 0. Montrer que f = 0. c.) On suppose que f n’est pas la fonction nulle. Déterminer la fonction f . Exercice 11 On définit E l’ensemble des fonctions   0;1 R continues vérifiant :   2 ( , ) 0;1 x y   , ( ) ( ) 2 2 x y f x f y f         1.) Montrer que 2 ( , ) f g E   et 2 ( , ) R    , f g E     2.) On suppose que f E  vérifie f (0) = f (1) = 0. On pose ; ,0 2 2 n n k A n N k            Montrer que f s’annule sur A et en déduire que   0;1 x  f(x)=0 3.) Soit f E  , montrer que la fonction  définie par   ( ) ( ) (0) (1) (0) x f x f x f f     uploads/s3/ td-1-limites-et-continuite-fiche-2.pdf