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1 Solution série 1+2+3+4 : Exercice 1 (objectifs : signal utile et bruit, expli

1 Solution série 1+2+3+4 : Exercice 1 (objectifs : signal utile et bruit, expliquer le fonctionnement du sonar dans chaque cas) P1 P2 P3 Les signaux utiles L’image et le son (du film) émet par le portable de P1 Le son (parole du P3) reçu via les écouteurs ainsi que l’image Sur le portable de P2 Le son (parole du P2) reçu via les écouteurs ainsi que l’image Sur le portable de P3 Les bruits Les paroles (son) de P2. Le reste du champ de vision hors le micro-portable Le son (du film) émet par le portable du P1 Le reste du champ de vision hors le micro- portable de P2 le son (du film) émet par le portable du P1 qui est reçu via le microphone de P2. Le reste du champ de vision hors le micro-portable de P3 Les émetteurs Ecran et haut-parleur du mico- portable du P1 Ecran et écouteurs émet du mico-portable du P2 Ecran et écouteurs émet du mico- portable du P3 Les récepteurs P1 reçoit l’image et le son du film P2 et P3 reçoivent le son seulement P3 reçoit l’image et le son du P3 P2 reçoit l’image et le son du P3 Le Canal L’air pour le son Les photons pour l’image L’air pour le son Les photons pour l’image Le câble réseau (internet) L’air pour le son Les photons pour l’image Le câble réseau (internet) Exercice 2 (classification des signaux, enveloppe, tracer les signaux) Graphe phénoménologique morphologique Graphe phénoménologique morphologique Signal déterministe pseudopériodique analogique Signal déterministe périodique analogique Signal déterministe non périodique discret Signal déterministe (ou aléatoire) non périodique quantifié Signal déterministe (ou aléatoire) non périodique numérique ܹ ଵ= lim ்՜ାஶනݔଵ ଶ(ݐ) ் ଶ ି் ଶ ݀ݐ= lim ܶ՜൅λ2ݐ| െܶ 2 +ܶ 2 + lim ܶ 2՜൅λ sin ൬12 ߨݐ+ 2ߨ 3 ൰ 6ߨ ተ െܶ 2 +ܶ 2 = +λ Exercice 3 Soit le signal suivant : ݔ(ݐ) ൌെ1 + 2 cos ቀଶ ଷߨݐെ గ ସቁ+ 4 sin ቀߨݐ+ గ ଷቁെ6 cos(4ߨݐ) 1. ݈ܽ ݒ݈ܽ݁ݑݎ ݉݋ݕ݁݊݊݁ൌെ1et les fréquences présentes dans le signal ݔ(ݐ) sont ቀ0, ଵ ଷ, ଵ ଶ, 2 ቁ 2. nous avons trois périodes dans le signal ܶ ଵ= 3, ܶ ଶ= 2 ݁ݐ ܶ ଷ= ଵ ଶ ݈ܽ݋ݎݏ ݈ܽ ݌éݎ݅݋݀݁ ݁ݏݐ ܶ ଴= ܲܲܯܥ(ܶ ଵ, ܶ ଶ, ܶ ଷ) = 6 ֜ ݂ ଴= 1 ܶ= ܲܩܦܥ(݂ ଵ, ݂ ଶ, ݂ ଷ) = 1 6 Le signal ݔ(ݐ) est un signal périodique de fréquence égale à ݂ ଴= ଵ ்= ଵ ଺. ݔ(ݐ) ൌെ1 + 2 cos ൬2 3 ߨݐെߨ 4൰+ 4 sin ቀߨݐ+ ߨ 3ቁെ6 cos(4ߨݐ) Utiliser les formules d’۳ܝܔ܍ܚ׷ Cos(ܽ) = ௘ೕೌା௘షೕೌ ଶ ݁ݐ sin(ܽ) = ௘ೕೌି௘షೕೌ ଶ௝ on trouve ݔ(ݐ) = ൬3݁ି୨గ݁ି௝ଶగ(ଵଶ)ቀଵ ଺ቁ௧+ 2݁୨గ ଺݁ି௝ଶగ(ଷ)ቀଵ ଺ቁ+ ݁୨గ ସ݁ି௝ଶగ(ଶ)ቀଵ ଺ቁ+ ݁௝గ+ ݁ି୨గ ସ݁௝ଶగ(ଶ)ቀଵ ଺ቁ + 2݁ି୨గ ଺݁௝ଶగ(ଷ)ቀଵ ଺ቁ+ 3݁୨గ݁௝ଶగ(ଵଶ)ቀଵ ଺ቁ௧൰ -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 temps x2(t) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 ܺ(െ12) = 3 ݁ି୨గ, ܺ(െ3) = 2 ݁௝గ ଺, ܺ(െ2) = ݁௝గ ସ,ܺ(0) ൌെ1 = ݁୨గ, ܺ(2) = ݁ି௝గ ସ,ܺ(3) = 2݁ି௝గ ଺,ܺ(12) = 3 ݁୨గ ݊= 12, ܣ଴= ܺ(0) ൌെ1, ܽݒ݁ܿ ܣ௞= 2 ή |ܺ(݇)| ݁ݐ ߮௞= arg൫ܺ(݇)൯ ݌݋ݑݎ ݇> 0 ܣଶ= 2 ή |ܺ(2)| = 2, ߮ଶ= arg൫ܺ(2)൯ൌെߨ 4 , ܣଷ= 4 ߮ଷൌെߨ 6 , ܣଵଶ= 1, ߮ଵଶ= ߨ, ܣ௜= ߮௜= 0 ݈ܽ݅݁ݑݎݏ La forme cosinus ݔ(ݐ) ൌെ1 + 2 cos ቀଶ ଷߨݐെ గ ସቁ+ 4 sinቀߨݐ+ గ ଷቁെ6 cos(4ߨݐ) = ܣ଴+ σ ܣ௞cos(2ߨ݂݇ ଴ݐ+ ߮௞) ௡ ௞ୀଵ ݔ(ݐ) ൌെ1 + 2 cos ൬2ߨ(2) ൬1 6൰ݐെߨ 4൰+ 4 cos ൬2ߨ(3) ൬1 6൰ݐെߨ 6൰+ 6 cos ൬2ߨ(12) ൬1 6൰ݐ+ ߨ൰ ݂ ଴= 1 6 , ݊= 12, ܣ଴ൌെ1, ܣଶ= 2, ߮ଶൌെߨ 4 , ܣଷ= 4 ߮ଷൌെߨ 6 , ܣଵଶ= 1, ߮ଵଶ= ߨ, ܣ௜= ߮௜= 0 ݈ܽ݅݁ݑݎݏ 3. Le spectre Unilatéral d’amplitude et de phase le signal ݔଵ(ݐ) 6 ܣ௞ ߨ ߨ 4 ߮௞ 2 0 k 1 െߨ 6 0 2 3 12 k െߨ 4 Le spectre bilatéral d’amplitude et de phase de ݔ(ݐ); |X(k)| 3 2 1 -12 -3 -2 0 2 3 12 k ߮௞ ߨ 4 ߨ ߨ ߨ 6 -12 2 3 -3 -2 0 2 12 k െߨ 4 െߨ 6 െߨ Exercice 5 2 x(t) 1 -5 -3 -1 0 1 3 5 7 t Le signal est périodique de période égale à ܶ ଴= 4 ֜ ݂ ଴= ଵ ସ= 0.25 la forme mathématique sur une période ݏݑݎ ݑ݊݁ ݌éݎ݅݋݀݁ ݔ(ݐ) = ൜ݔ(ݐ) = 1 ݏ݅ െͳ ൑ݐ൑1 ݔ(ݐ) = ݐെ1 ݏ݅ 1 ൑ݐ൑3 ܽ଴ 2 = 1 ܶ ଴ නݔ(ݐ)݀ݐ ் ଶ ି் ଶ = 1 ݋ݑ ݀݁ݑݔ݅è݉݁ ݉éݐ݄݋݀݁ ܽ଴ 2 = ݏݑݎ݂ܽܿ݁ ܶ ଴ = 2 × 1 + 2 × 2/2 4 = 4 4 = 1 ܽ௞= 2 ܶ ଴ නݔ(ݐ)ܿ݋ݏ(2ߨ݂݇ ଴ݐ)݀ݐ ் ଶ ି் ଶ = 0 3 ܾ௞= 2 ܶ ଴ නݔ(ݐ)ݏ݅݊(2ߨ݂݇ ଴ݐ)݀ݐ ் ଶ ି் ଶ ൌെቌ2 ܿ݋ݏቀߨ݇ 2 ቁ ߨ݇ + 4 ݏ݅݊ቀߨ݇ 2 ቁ (ߨ݇)ଶ ቍ ݔ(ݐ) = 1 + ෍(ܽ௞cos(2ߨ݂݇ ଴ݐ) + ܾ௞sin(2ߨ݂݇ ଴ݐ)) ାஶ ௞ୀଵ = 1 + ෍െቌ2 ܿ݋ݏቀߨ݇ 2 ቁ ߨ݇ + 4 ݏ݅݊ቀߨ݇ 2 ቁ (ߨ݇)ଶቍݏ݅݊൬ߨ݇ݐ 2 ൰ ାஶ ௞ୀଵ La forme cosinus est donnée par la forme ݔ(ݐ) = ܽ଴ 2 + ෍ܣ௞cos(2ߨ݂݇ ଴ݐ+ ߮௞) ାஶ ௞ୀଵ ܽݒ݁ܿ ܽ଴ 2 = 1 ݁ݐ ݂ ଴= 1 4 ܣ௞= ටܽ௞ ଶ+ ܾ௞ ଶ= ቮቌ2 ܿ݋ݏቀߨ݇ 2 ቁ ߨ݇ + 4 ݏ݅݊ቀߨ݇ 2 ቁ (ߨ݇)ଶቍቮ ܲ݋ݑݎ ݂݅݊݋ݎ݉ܽݐ݅݋݊ ܣ௞= ە ۖ ۖ ۖ ۔ ۖ ۖ ۖ ۓ 2 ߨ݇ ݏ݅ ݇= 4 ݊ 4 (ߨ݇)ଶ ݏ݅ ݇= 4 ݊+ 1 2 ߨ݇ ݏ݅ ݇= 4݊+ 2 4 (ߨ݇)ଶ ݏ݅ ݇= 4 ݊+ 3 = ൞ 2 ߨ݇ ݏ݅ ݇ ݌ܽ݅ݎ 4 (ߨ݇)ଶ ݏ݅ ݇ ݅݉݌ܽ݅ݎ ݁ݐ ݐ݃(߮௞) = െܾ௞ ܽ௞ = ቌ2 ܿ݋ݏቀߨ݇ 2 ቁ ߨ݇ + 4 ݏ݅݊ቀߨ݇ 2 ቁ (ߨ݇)ଶቍ 0 = ە ۖ ۖ ۖ ۖ ۔ ۖ ۖ ۖ ۖ ۓ 2 ߨ݇ 0 ՜ ൅λ ֜ ߮௞= ߨ 2 ݏ݅ ݇= 4 ݊ 4 (ߨ݇)ଶ 0 ՜ ൅λ ֜ ߮௞= ߨ 2 ݏ݅ ݇= 4 ݊+ 1 െ2 ߨ݇ 0 ՜ െλ ֜ ߮௞= 3ߨ 2 ൌെߨ 2 ݏ݅ ݇= 4 ݊+ 2 െ4 (ߨ݇)ଶ 0 ՜ െλ ֜ ߮௞= 3ߨ 2 ൌെߨ 2 ݏ݅ ݇= 4 ݊+ 3 Spectre unilatéral ݔ(ݐ) = ෍(ܺ݇) eାଶగ௞௙ బ௧ ାஶ ௞ୀିஶ ܽݒ݁ܿ ە ۖ ۖ ۔ ۖ ۖ ۓ ܺ(݇) = ܣ௞ 2 ݁௝ఝೖ= ቮቌ ܿ݋ݏቀߨ݇ 2 ቁ ߨ݇ + 2 ݏ݅݊ቀߨ݇ 2 ቁ (ߨ݇)ଶቍቮ݁௝ఝೖ ݇> 0 ܺ(0) = ܣ଴= 1 ݇= 0 ܺ(െ݇) = ܣ௞ 2 ݁௝ఝೖ= ቮቌ ܿ݋ݏቀߨ݇ 2 ቁ ߨ݇ + 2 ݏ݅݊ቀߨ݇ 2 ቁ (ߨ݇)ଶቍቮ݁ି௝ఝೖ െ݇< 0 On peut calculer la forme complexe par 4 2 ܺ(݇) = 1 ܶ ଴ නݔ(ݐ) ݁ି௝ଶగ௞௙ బ௧݀ݐ ் ଶ ି் ଶ = ቌ cos (ߨ݇ 2 ) ߨ݇ + 2 sinቀߨ݇ 2 ቁ (ߨ݇)ଶቍ݁௝గ ଶ Exercice 5 : x(t) 1 t -1 0 1 Calculer la densité spectrale de ce signal pour la fréquence nulle Le signal x(t) s’écrit ݔ(ݐ) = ቄݐ+ 1 ݏ݅ െͳ ൑ݐ൑1 0 ݈݈ܽ݅݁ݑݎݏ La densité spectrale pour la fréquence nulle (݂= 0) correspond à la valeur de ܺ(݂)|௙ୀ଴ elle est donnée par : ܺ(݂) = නݔ(ݐ) ݁ି௝ଶగ௙௧ ݀ݐ ାஶ ିஶ ֜ ܺ(0) = නݔ(ݐ) ݁ି௝ଶగ(଴)௧ ݀ݐ ାஶ ିஶ = 2 1. Calculer la transformée de Laplace de ce signal ܺ(ݏ) = නݔ(ݐ) ݁ି௝ଶగ௙௧ ݀ݐ ାஶ ିஶ = െ݆4ߨ݂݁ି௝ଶగ௙+ ݁௝ଶగ௙െ݁ି௝ଶగ௙ (݆2ߨ݂)ଶ 1. Déduire la transformée de Fourrier ܴଶ(݂) = ܶܨ{ݎ݁ܿݐଶ(ݐ)} si ൬݀ݔ(ݐ) ݀ݐ= ݎ݁ܿݐ2(ݐ) െ2 ߜ(ݐെ1)൰ ݀ݔ(ݐ) ݀ݐ = ݎ݁ܿݐଶ(ݐ) െ2ߜ(ݐെ1) ֜ ݆2ߨ݂ܺ(݂) = ܶܨ{ݎ݁ܿݐଶ(ݐ)} + ܶܨ{ߜ(ݐെ1)} ֜ ܶܨ{ݎ݁ܿݐଶ(ݐ)} = ܴଶ(݂) = ݆2ߨ݂ܺ(݂) + 2 ݁ି௝ଶగ௙= 2 ܵ݅݊ܿ(2ߨ݂) ݎ݁ܿݐଶ(ݐ) = ቄ1 ݏ݅ െͳ ൑ݐ൑1 0 ݈݈ܽ݅݁ݑݎݏ ݁ݐ ݎ݁ܿݐ(ݐ) = ቄ1 ݏ݅ െ0.5 ൑ݐ൑0.5 0 ݈݈ܽ݅݁ݑݎݏ ֜ ݎ݁ܿݐ(ݐ) = ݎ݁ܿݐଶ(2 ݐ) ܴ(݂) = ܶܨ{ݎ݁ܿݐ(ݐ)} = ܶܨ{ݎ݁ܿݐଶ(2 ݐ)} = 1 |2| ܴଶ൬݂ 2൰= 2 ܵ݅݊ܿ(2ߨ݂ 2) |2| = ܵ݅݊ܿ(ߨ݂) = ܵ݅݊(ߨ݂) ߨ݂ 5 Exercice 2 : (ܴ= 50 ȳ, ܥ= 100 ߤܨ ݁ݐ ܮ= 40݉ ܪ) 1. Ecrire sous forme d’équation différentielle y (t) en fonction de x(t). S est-il linéaire ? ܽݒ݁ܿ ݈݋݅ ݀݁ ݇݅ݎ݄ܿ݋݂݂ ݔ(ݐ) = ܮ݀݅(ݐ) ݀ݐ + ܴ ݅(ݐ) + 1 ܥන݅(ݐ). ݀ݐ ௧ ଴ ܽݒ݁ܿ ݕ(ݐ) = 1 ܥන݅(ݐ). ݀ݐ ௧ ଴ ֜ ݅(ݐ) = ܥ݀ݕ(ݐ) ݀ݐ ݔ(ݐ) = ܮ. ܥ݀ଶݕ(ݐ) ݀ݐଶ + ܴ. ܥ ݀ݕ(ݐ) ݀ݐ + ݕ(ݐ) ֜ ݀ଶݕ(ݐ) ݀ݐଶ + ܴ ܮ ݀ݕ(ݐ) ݀ݐ + 1 ܮ. ܥݕ(ݐ) = 1 ܮ. ܥ ݔ(ݐ) ݕሷ(ݐ) + ܽଵݕሶ(ݐ) + ܽ଴ݕ(ݐ) = ܾଵݔሶ(ݐ) ֜ ܾ଴ݔ(ݐ) ܽݒ݁ܿ ܽ଴= ܾ଴= 1 ܮή ܥ= 1 4 ή 10ିଶή 10ିସ= 25 ή 10ସ= ݁ݐ ܽଵ= ܴ ܮ= 50 Ͷ ή 10ିଶ= 1250 = 1250 2. Donner la réponse indicielle de S1 (si x(t) est un échelon) Si ݔ(ݐ) = ݑ(ݐ) = 1 ܣ݈݋ݎݏ ݕ(ݐ) = ݕ௛(ݐ) + ݕ௣(ݐ) ܽݒ݁ܿ ݕ௛(ݐ) ݏ݋݈ݑݐ݅݋݄݊݋݉݋݃è݊݁ ݕሷ௛(ݐ) + ܽଵݕሶ௛(ݐ) + ܽ଴ݕ௛(ݐ) = 0 ֜ ݕ௛(ݐ) = ܭ ଵ݁ିଶହ଴௧+ ܭଶ݁ିଵ଴଴଴௧ ݕ௣(ݐ) ݏ݋݈ݑݐ݅݋݊ ݌ܽݎݐ݅ܿݑ݈݅èݎ݁ ݕሷ௣(ݐ) + ܽଵݕሶ௣(ݐ) + ܽ଴ݕ௣(ݐ) = ܾ଴= ܽ଴֜ ݕ௣(ݐ) uploads/s3/ td-1234-reponses-courtes-2019-2020 1 .pdf