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1 Identification : Modèle de Strecj Rappels : modèle mathématique † H p ( ) = k

1 Identification : Modèle de Strecj Rappels : modèle mathématique † H p ( ) = ke-T p 1+ t p ( ) n n Ta/t Tu/t Tu/Ta 2 2,7183 0,2817 0,1036 3 3,6945 0,8055 0,218 4 4,4635 1,4254 0,3194 5 5,1186 2,102 0,4103 6 5,6991 2,8113 0,4933 7 6,2256 3,5489 0,57 8 6,7113 4,3069 0,6417 9 7,164 5,081 0,7092 10 7,5898 5,8685 0,7732 11 7,993 6,6673 0,8341 Définition des coefficients T Tu et Ta Tableau des coefficients de Strecj Exercice : Après expérimentation, on relève sur un enregistrement : Tu=2,9 s, Ta=11,1 s, T=3,12 s, Dum=2,34 V et Dur=1 V. Déterminer la fonction de transfert Solution: • On calcule tout d'abord le rapport 261 , 0 1 , 11 9 , 2 = = a u T T . • Dans le tableau, 0,218<0,261<0,3194 soit 3<n<4 Ë Strejc préconise de prendre la valeur n immédiatement inférieure, soit ici n = 3. • Pour n = 3, on a : 695 , 3 = t a T , d'où t = 3 s • 218 , 0 = a u T T , ce qui correspond à une valeur théorique Tuth de Tu telle que Tuth=0,218Ta=2,4198 s. On trouve donc un décalage DTu entre le Tu mesuré et le Tu théorique tel que : DTu=2,9 - 2,4198 = 0,48 s En fait, il existe certainement une erreur d'appréciation de T et Tu, car il n'est pas facile de déterminer le moment exact où le signal um(t) quitte la valeur 0. On va donc ajuster le temps de retard à l'aide du DTu trouvé précédemment : T = 3,12 + 0,48 = 3,6 s. Comme le gain statique vaut 1 34 , 2 = k , la fonction de transfert s'écrit alors : ( ) ( ) 3 6 , 3 3 1 34 , 2 p e p H t + = - 2 Identification : réponse indicielle On a relevé la réponse indicielle d'un système sollicité par une entrée de 1,4V. Sur la figure l'amplitude est en V et le temps en secondes. > Déterminer la fonction de transfert Solution La valeur finale est de 8V Ë G=8/1,4 On trace une asymptote à 95% de la valeur finale, l'intersection avec la réponse indicielle s'effectue à t = 9s aussi tau = 3s Exercice : Identification d'un 2° ordre Rappels Un système du 2° ordre s'écrit : ( ) 2 2 2 1 n n Tp p p e k p F w w x + + = - La hauteur des maxima (n impair) : † Dn = K e -x n p 1-x 2 La pseudo-période : 2 1 2 x w p - = n p T On effectue les relevés suivants : t1, t2, D1, D3 1- Etablir la relation permettant de calculer Tp à partir des relevés expérimentaux 2- Etablir la relation existante entre x et {D1, D3 } 3- Si K=1, établir la relation entre x et D1 4-Etablir la relation permettant de calculer x dans les 2 cas précédents 5- Application : la réponse d'un système du second ordre à un échelon est donnée sur la figure suivante Déterminer les paramètres de la fonction de transfert Solution 1- Tp = t2- t1 2- † D 1 = K e -x p 1-x 2 et Faisons le rapport † D 1 D3 = e x 2p 1-x 2 Le logarithme du rapport permet d'établir la relation : † x 1-x 2 = 1 2p log D 1 D3 È Î Í ˘ ˚ ˙ =A 3- Si K=1, il n'est pas nécessaire de faire le rapport des 2 maxima pour éliminer le gain. 4- Posons † x 1-x 2 = 1 2p log D 1 D3 È Î Í ˘ ˚ ˙ =A On établit † x = A 1+ A2 5- On relève sur la courbe D1 = 0.3723, on obtient x = 0.2871 T0 = 6.585 soit w0 = 0.9961 3 Identification en boucle fermée Si le système à identifier est instable ou posséde un intégrateur, l'identification par la réponse indicielle en boucle ouverte n'est plus envisageable. K2 (tp+1)n K1 y yc Méthode expérimentale : soit le système de la figure ci-dessus, on augmente le gain K1, jusqu'à K1= K10 où on obtient un régime juste oscillant et w0=2p/T0 la pulsation du régime oscillant. 1- Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée du système, 2- Si le système oscille, quelle égalité peut-on faire apparaître? 3- De le question 2, en déduire une relation sur le module et l'argument, 4- Déterminer le gain et la constante de temps du système. Solution 1- En boucle fermée, on obtient la fonction de transfert : † G(p) = K1K2 1+ tp ( ) n 1+ K1K2 1+ tp ( ) n 2- Si le système oscille alors l'équation caractéristique est nulle pour le couple {K10 w0} soit : † 1+ K10K2 1+ tw0 ( ) n = 0 3- La relation s'écrit encore : † K10K2 1+ tw0 ( ) n = -1 ; le module est égal à 1 et l'argument à –p Soit † K10K2 1+ tw0 2 ( ) n / 2 =1 et † -nArctg(tw0) = -p 4- La phase permet de calculer † t = 1 w0 tg p n È Î Í ˘ ˚ ˙ , introduisons cette valeur dans le module: † K10K2 1+ 1 w0 2 tg2 p n È Î Í ˘ ˚ ˙ w0 2 Ê Ë Á ˆ ¯ ˜ n / 2 =1 q u i d e v i e n t † K10K2 cosn p n È Î Í ˘ ˚ ˙ =1 soit encore † K10K2 = 1 cosn p n È Î Í ˘ ˚ ˙ Supposons K2=1 (comment déterminer cette valeur si elle est différente de 1?), on trace K10 en fonction de n (figure suivante). Expérimentalement, pour la valeur de K10, on relève sur la courbe la valeur de n l'ordre du système puis la constante de temps. 4 Identification fréquentielle Exercice : on a relevé les courbes suivantes correspondantes à la réponse harmonique d'un système, proposer un modèle de fonction de transfert et déterminer les paramètres. 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 0 2 4 6 8 10 12 14 Ordre du système en fonction du gain Ko n Ko 5 Détermination de la fonction de transfert harmonique Méthode : Expérimentalement, on obtient une courbe Ge(2pfi) qui se présente initialement sous la forme d'une courbe de gain et d'une courbe de phase en fonction de la pulsation ou de la fréquence 1- Ecrire la fonction de transfert harmonique d'un système du 2° ordre possédant un zéro sous la forme du rapport de 2 polynômes en jw, on note bi les coefficients du numérateur et ai ceux du dénominateur. 2- Montrer que cette fonction peut se mettre sous la forme : G jw A w jB w C w jD w ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + 3- Etablir la relation entre A(w), B(w) C(w) D(w) et les coefficients bi et ai 4- La fonction G(jw) doit correspondre aux données expérimentales Ge(jw) qui s'écrit : Ge(jwi) = R(wi)+jQ(wi). G(jw) et Ge(jwi) doivent correspondre, montrer que l'on peut établir les 2 relations suivantes: A w C w R w D w Q w i i i i i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - + = 0 B w C w Q w D w R w i i i i i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - + = 0 5- Proposer une méthode pour établir la valeur des coefficients bi et ai 6- A quelle difficulté peut-on se heurter dans la mise en œuvre expérimentale de cette méthode? 7- Application Frequency (rad/sec) Bode Diagrams -20 -15 -10 -5 0 From: U(1) 100 101 102 -100 -80 -60 -40 -20 0 T o : Y ( 1 ) 10 -1 10 0 10 1 10 2 -10 2 -10 1 -10 0 g a i n 10 -1 10 0 10 1 10 2 -100 -50 0 50 100 150 200 p h a s e On suppose que le système possède un zéro et 2 pôles Solution 1- La fonction de transfert harmonique peut s'écrire † G( jw) = b 1jw + b0 -a2w2 + a1jw + a0 2- G jw A w jB w C w jD w ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + † G( jw) = b0 + jb 1w a0 - a2w2 + ja 1w 3- On identifie A(w)=b0; B(w)=b1w; C(w)=a0-a2w; D(w)=a1 4- † G( jwi) = A(wi) + jB(wi) C(wi) + jD(wi) = R(wi) + jQ(wi) † A(wi) + jB(wi) = R(wi)C(wi) - Q(wi)D(wi) { }+ j R(wi)D(wi) + Q(wi)C(wi) { } † A(wi) = R(wi)C(wi) - Q(wi)D(wi) † B(wi) = R(wi)D(wi) + Q(wi)C(wi) 5- On normalise uploads/s3/ td-identification.pdf