⋆Sup PTSI B - Icam Toulouse ⋆ DM n◦4 Remis le 10 novembre à rendre le 22 novemb

⋆Sup PTSI B - Icam Toulouse ⋆ DM n◦4 Remis le 10 novembre à rendre le 22 novembre Toutes les réponses seront justi ées. Une attention particulière est portée sur :  la qualité de la rédaction, le soin et la présentation;  la clarté et la précision des raisonnements;  la recherche et la ré exion personnelle. Pré-requis :  savoir les propriétés de la fonction logarithme et de la fonction arctangente ;  savoir calculer des dérivées usuelles ;  savoir trouver une équation de la tangente. Exercice 1 On considère la fonction : f : x 7− →ln  x + p x2 + 1  On notera Cf sa courbe représentative dans un r.o.n.d. On veut faire l'étude complète de f. 1) Résoudre sur R l'inéquation : p x2 + 1 > −x 2) Déterminer le domaine de dé nition de f, on le notera Df. 3) Démontrer que f est impaire (on pourra calculer f(x) + f(−x)). 4) Déterminer le domaine de dérivabilité de f, on le notera Df ′. 5) Calculer l'expression de la dérivée de f, puis prouver que : ∀x ∈Df ′, f ′(x) = 1 √ 1 + x2 6) Calculer lim x→+∞f(x). 7) Dresser le tableau de variations de f. 8) Donner l'équation de la tangente à Cf au point d'abscisse 0. 9) On pose g(x) = ln(2x). Prouver que : lim x→+∞(f(x) −g(x)) = 0 Que peut-on en déduire pour Cf ? 10) Dans le même repère tracer les courbes représentatives de ln, de g, et en n Cf. 11) Démontrer que : ∀x ∈Df, f (sh(x)) = x et sh (f(x)) = x Que peut-on en conclure ? Exercice 2 On considère la fonction numérique f telle que : f(x) = (x2 −1) arctan 1 2x −1, et on appelle (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé. 1) Quel est l'ensemble de dé nition D de f ? 2) Exprimer, sur D \ {0}, la dérivée de f sous la forme : f ′(x) = 2xg(x). 3) Montrer que : ∀x ∈R, 2x4 −4x3 + 9x2 −4x + 1 > 0 et en déduire le tableau de variation de g. 4) Dresser le tableau de variation de f. Habituez vous à encadrer vos résultats pour être lu et vous relire facilement ! Fin de l'énoncé 1/1 uploads/s3/ devoir-4-enonce-1.pdf

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