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Corrigé TD 4 Exercice 1.      0 1 2 K G p avec K p p p     1°) En BO,

Corrigé TD 4 Exercice 1.      0 1 2 K G p avec K p p p     1°) En BO, ce système peut se décomposer en un intégrateur et 2 constantes de temps du 1er ordre. La linéarité implique que la réponse de ce système à un échelon correspond à la somme des réponses de ces 3 systèmes. La présence du terme intégrateur assure une réponse tendant vers l’infini. Ce système n’est pas stable en boucle ouverte. 2°) En boucle fermée, la stabilité de la boucle dépend, a priori, de la valeur de K. Le critère de Routh permet de déterminer une condition algébrique de stabilité sur le coefficient du polynôme dénominateur de la fonction de transfert testée:      3 2 1 2 3 2 K K G p p p p p p p         3 2 3 2 K numBO FTBF p p p p K numBO denBO             1 2 3 6 0 3 0 K K K  Tous les éléments de la 1er colonne sont positifs dès lors que 6 K  ; et cela constitue une condition nécessaire et suffisante de stabilité de la fonction de transfert testée. Exercice 2. 1°)     3 10 K G p p       3 3 2 30 300 1000 10 K K FTBF p p p p K p K         Le tableau du critère de Routh est : 1 1 300 30 1000 8000 0 1000 0 K K K    La boucle fermée est stable dès lors que : K<8000 2°) On demande calculer la valeur de K qui assure un gain de -6dB = 0,5 dès que le déphasage apporté par la fonction de transfert EN BOUCLE OUVERTE est de -180° Remarque : 1 3 . 2 1 1 6 . 0,5 2 2 GdB dB G Ce résultat doit etre connu GdB dB G         Le calcul donne :       arg 3 arg 10 3arctan 10 G j j             On en déduit la pulsation à laquelle le système en BO déphase de radians. 10 tan 3            soit 17,3 / rad s   On veut donc un gain de 0,5 à cette pulsation, que doit valoir K ?     3 2 0,5 100 K G j        On en déduit :   3 2 0,5 100 4000 K       4000 K  3°) Quel est le déphasage induit par cette fonction de transfert, en boucle ouverte, lorsque le gain est unitaire ? Il faut d’abord calculer la pulsation pour laquelle le gain est unitaire. Il vient :     3 2 4000 1 100 c c G j         2 /3 2 100 4000 c    Et on trouve 12,3 / c rad s  Quel est maintenant le déphasage apporté à cette pulsation ?     arg 3arctan 10 C c G j            2,66 152 c j rad      On en déduit la marge de phase cherchée :   152 180 28 M    2 Exercice 3. La fonction de transfert étudiée en boucle ouverte est      100 10 10 1 G p p p    Par définition,  L’erreur statique est la valeur permanente de l’erreur (en boucle fermée donc…) lorsque l’entrée est un échelon.  L’erreur de vitesse ou de traînage est la valeur permanente de l’erreur lorsque l’entrée est une rampe.               p E p S p p E p FTBF p E p        On en déduit les relations qui doivent figurer dans le cours :                 0 0 2 0 0 1 lim 1 lim 1 1 1 lim 1 lim s p p v p p p FTBF p FTBF p p FTBF p p FTBF p p p                 Ici, il faut donc commencer par calculer l’expression de   1 FTBF p  Si          2 100 100 10 10 1 10 101 10 num p G p p p p p den p                        1 num p FTBF p num p den p den p FTBF p num p den p      On en déduit :         2 2 10 101 10 1 10 101 110 den p p p FTBF p num p den p p p         1/11 9% s v      On a une erreur statique d’environ 9% de l’amplitude de la sollicitation statique. L’erreur de vitesse ne se stabilise pas ; lorsque l’entrée est en rampe, l’erreur ne cesse d’augmenter. Cela traduit un mauvais suivi de consigne, dans le cas de consigne variable. 3 uploads/s3/ td4-corrige 4 .pdf