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Année Scolaire 2018 – 2019 MATHÉMATIQUES MPSI3 DS N˚1 Samedi 22/09/2018 (2h) Le

Année Scolaire 2018 – 2019 MATHÉMATIQUES MPSI3 DS N˚1 Samedi 22/09/2018 (2h) Les candidats sont invités à composer avec une encre sufﬁsamment visible (en bleu foncé ou en noir par exemple), le bleu pâle est à proscrire. Les candidats sont également invités à porter une attention particulière à la qualité de leurs raisonnements ainsi qu’à la rédaction (les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées). La référence des questions doit obligatoirement être mentionnée et les résultats doivent être encadrés . La calculatrice, les formulaires et les téléphones sont interdits. Exercice 1 : calculs élémentaires Résoudre dans R : Q1) x−3 x−1 ⩽2−x. Q2) p x+1 x−1 ⩽2. Q3) |||x −1|+2|−3| = 2. Exercice 2 : quantiﬁcateurs Q1) Traduire les assertions suivantes dans le langage mathématique (avec quantiﬁcateurs) et les dé- montrer : a) L’ensemble R n’a pas de minimum. b) Tout complexe est le carré d’un complexe. Q2) Traduire les assertions suivantes en langage courant, dire si elles sont vraies ou fausses (à justiﬁer). Dans le cas d’une assertion fausse, on écrira sa négation avant de la justiﬁer : a) ∀M ∈R,∃n ∈N, 1 1+n2 > M. b) ∃T ∈R∗,∀x ∈R,sin( x+T 3 ) = sin( x 3). Exercice 3 : ensembles Soit E un ensemble, pour toutes parties A et B de E, on déﬁnit l’ensemble A ↑B = {x ∈E|(x ∉A)∨(x ∉B)}. Q1) Exprimer A ↑B en fonction de A et B (complémentaires de A et de B dans E). Q2) Soient A et B deux parties de E : a) Simpliﬁer successivement : A ↑A puis A ↑E puis A ↑∅. 1 b) Montrer que A∩B = (A ↑B) ↑(A ↑B). c) Montrer que A∪B = (A ↑A) ↑(B ↑B). Q3) Soient A, B et C trois parties de E. a) A-t-on (A ↑B) ↑C = A ↑(B ↑C)? On justiﬁera à l’aide d’une table de vérité. b) Montrer que (A∪B) ↑C = (A ↑C)∩(B ↑C). c) Montrer que (A∩B) ↑C = (A ↑C)∪(B ↑C). d) Montrer que (A ↑B) ↑C = (A∩B)∪C. Exercice 4 : raisonnements Q1) Soient A, B et C trois ensembles montrer que : A∩B = A∩C ⇐ ⇒A∩B = A∩C Q2) Montrer que toute fonction continue f : R →R peut s’écrire comme la somme d’une fonction linéaire (i.e. de la forme x 7→ax), et d’une fonction continue dont l’intégrale de 0 à 1 est nulle. Q3) a) Étudier la fonction g : x 7→x + 1 x sur R∗(tableau des variations, limites). Quel est l’ensemble des images par la fonction g ? b) Soit x un réel non nul tel que x + 1 x ∈Z, montrer que ∀n ∈N, xn + 1 xn ∈Z. Exercice 5 : nombres complexes Pour z ∈C∗, on pose f (z) = z + 1 z . Q1) Déterminer la forme algébrique de f (z). Q2) En déduire les complexes z tels que f (z) ∈R. Puis les complexes z tels que f (z) ∈iR. Q3) Soit θ un réel. Déterminer tous les complexes z tels que f (z) = 2cos(θ). On mettra les solutions sous forme exponentielle. Q4) a) On rappelle que j = ei2π/3. Mettre le complexe j 2 −1 sous forme exponentielle. b) Résoudre dans C l’équation f (z) = 2j où j = ei2π/3. – FIN – 2 uploads/s3/ ds01-1819.pdf