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Tenseur En mathématiques, plus précisément en algèbre multi- linéaire et en géo

Tenseur En mathématiques, plus précisément en algèbre multi- linéaire et en géométrie diﬀérentielle, un tenseur dé- signe un objet très général, dont la valeur s’exprime dans un espace vectoriel. On peut l'utiliser entre autres pour représenter des applications multilinéaires ou des multivecteurs. On pourrait abusivement considérer qu'un tenseur est une généralisation à n indices du concept de matrice carrée (la matrice possède un indice ligne et un indice colonne — un tenseur peut posséder un nombre arbitraire d'indices inférieurs, covariants, et d'indices su- périeurs, contravariants, à ne pas confondre avec des ex- posants), mais la comparaison s’arrête là car une matrice n'est qu'un simple tableau de nombres qui peut être utilisé pour représenter des objets abstraits, alors que le tenseur est, comme les vecteurs et les applications multilinéaires, un objet abstrait dont les coordonnées changent lorsqu'on passe d'une représentation dans une base donnée à celle dans une autre base. On peut envisager l'outil tenseur dans 4 types d'utilisation diﬀérents : • Le cas simple, où on l'utilise pour ses capacités à re- présenter des objets algébriques complexes et où on n'a pas besoin des concepts de distances ni d'angles ; on n'introduira pas de produit scalaire, et dans ce cas les coordonnées co-variantes représentent des objets de type application linéaire et les coordon- nées contravariantes représentent des objets de type (multi-)vecteurs. • Le cas où la base est orthonormée, et où il n'y a pas de diﬀérence entre coordonnées covariantes et contravariantes. • Le cas où la base n'est pas orthonormée, et où le pro- duit scalaire est déﬁni par un tenseur métrique. Dans ce cas, le tenseur métrique permet de convertir les coordonnées covariantes en coordonnées contrava- riantes (et vice versa). • Le cas des espaces courbes de Riemann et plus tard, de la relativité générale, dans lesquels le tenseur métrique est en fait un champ de tenseurs appe- lé métrique riemannienne (resp Métrique pseudo- riemannienne) et qui dépend donc de la position. Dans tous ces cas, le terme tenseur est souvent utilisé par extension, pour désigner un champ de tenseurs, c'est-à- dire une application qui associe à chaque point d'un es- pace géométrique un tenseur diﬀérent. En physique, les tenseurs sont utilisés pour décrire et manipuler diverses grandeurs et propriétés phy- siques comme le champ électrique, la permittivité, les déformations, les contraintes etc. La première utilisation de la notion et du terme de ten- seur s’est faite dans le cadre de la mécanique des mi- lieux continus, en relation avec la nécessité de décrire les contraintes et les déformations subies par les corps éten- dus, à partir de laquelle fut formalisée la mécanique ra- tionnelle. En particulier, le tenseur des contraintes et le tenseur des déformations sont utilisés dans la science des constructions pour déﬁnir l'état de tension et de défor- mation en tout point d'une structure. Outre la mécanique des ﬂuides et mécanique du solide, les tenseurs sont utili- sés dans de nombreux autres domaines de la physique, tels que l'électromagnétisme. Ils sont également large- ment utilisés en relativité générale, pour décrire rigou- reusement l'espace-temps comme variété courbe quadri- dimensionnelle. Les tenseurs sont également utilisés en géométrie diﬀé- rentielle pour déﬁnir sur une variété diﬀérentielle les no- tions géométriques de distance, d'angle et de volume. Ce- la se fait par le choix d'un tenseur métrique, c'est-à-dire un produit scalaire déﬁni sur l'espace tangent de chaque point. Grâce à ce concept, sont alors déﬁnies et étudiées les questions liées à la courbure de la variété. D'autres tenseurs, tels que le tenseur de Riemann et le tenseur de Ricci, sont des outils importants pour cette étude. 1 Introduction En mathématiques et en physique, un tenseur est un objet très général, déﬁni intrinsèquement à partir d'un espace vectoriel V (ou si on y ajoute un produit scalaire, à partir de l'espace euclidien tridimensionnel, ou bien l'espace- temps quadri-dimensionnel) et qui ne dépend pas d'un système de coordonnées particulier. Cette notion phy- sique de tenseur comme « objet indépendant du système de coordonnées » est utile pour exprimer beaucoup de lois physiques, qui par leur nature ne dépendent pas des systèmes de coordonnées choisis. Par rapport à un système de coordonnées ﬁxé, un vecteur de l'espace de dimension n s’exprime comme une suite ﬁnie de nombres (ce sont les composantes du vecteur), soit : un n-uplet. Si on change de système de coordon- nées, ce vecteur s’exprimera alors par un autre n-uplet, diﬀérent selon une loi bien précise. Un tenseur, exprimé 1 2 3 DÉFINITION ET EXEMPLES Les composants du tenseur des contraintes, un tenseur de deuxième ordre, en trois dimensions. Le tenseur dans l'image est le vecteur ligne σ = [ T(e1)T(e2)T(e3)] des forces agissant sur les faces e1 , e2 et e3 du cube. Ces forces sont représentées par des vecteurs colonnes. Les vecteurs ligne et colonnes qui composent le tenseur peuvent être représentées par une matrice : σ =   σ11 σ12 σ13 σ21 σ22 σ23 σ31 σ32 σ33   dans un système de coordonnées particulier, est une sorte de n-uplet généralisé qui peut avoir 1 dimension (un n- uplet), ou 2 (une matrice) ou plus. Par un changement du système de coordonnées, les composantes d'un tenseur, comme celles d'un vecteur, sont modiﬁées par une loi pré- cise. Dans le langage de l'algèbre linéaire, la notion mathéma- tique de tenseur est réalisée d'une manière plus rigoureuse par l'algèbre multilinéaire et la déﬁnition d'un tenseur peut être donnée sans faire référence aux systèmes de co- ordonnées (aux bases), en utilisant la notion d'application multilinéaire et d'espace vectoriel dual. 2 Histoire Le mot tenseur est issu de l'anglais d'origine latine tensor, mot introduit en 1846 par William Rowan Hamilton pour décrire la norme dans un système algébrique (ﬁnalement nommé algèbre de Cliﬀord). Le mot a été utilisé avec son sens actuel par Woldemar Voigt en 1899. Le calcul diﬀérentiel tensoriel a été développé vers 1890 sous le nom de calcul diﬀérentiel absolu, et fut rendu ac- cessible à beaucoup de mathématiciens par la publication par Tullio Levi-Civita 1900 du texte classique de même nom (en italien, suivi de traductions). Au XXe siècle, le sujet devient connu sous le nom de analyse tensorielle, et acquiert une reconnaissance plus large avec l'introduction de la théorie de la relativité générale d'Albert Einstein, autour de 1915. La relativité générale est complètement formulée dans le langage des tenseurs. Einstein a appris à les utiliser, avec quelque diﬃculté, du géomètre Marcel Grossmann ou peut-être de Levi-Civita lui-même. On utilise également les tenseurs dans d'autres domaines, comme par exemple la mécanique des milieux continus. 3 Déﬁnition et exemples 3.1 Déﬁnition Un tenseur est une application multilinéaire. L'algèbre des tenseurs est appelée algèbre tensorielle ou algèbre multilinéaire. La déﬁnition des tenseurs exposée ici est la plus intrin- sèque, parce qu'elle ne fait pas usage des bases, et est la plus utilisée en mathématiques. Soit V un espace vectoriel de dimension n sur un corps commutatif K . L'espace dual V* est l'espace vecto- riel formé de toutes les formes linéaires déﬁnies sur V. L'espace V* est aussi de dimension n. Les éléments de V et V* sont appelés respectivement vecteurs et covecteurs. Un tenseur est une application multilinéaire T : V ∗× . . . × V ∗ | {z } h × V × . . . × V | {z } k →K Un tenseur T associe alors à k vecteurs ⃗ v1, . . . ,⃗ vk et h covecteurs ⃗ w1, . . . , ⃗ wh un scalaire T(⃗ w1, . . . , ⃗ wh,⃗ v1, . . . ,⃗ vk). La multilinéarité garantit que la fonction est linéaire sur chaque variable. L'ordre ou type du tenseur est le couple (h,k). On donne aussi le nom d'ordre ou de rang à la somme h+k. Article détaillé : Tenseur (mathématiques). 3.2 Représentation Dans le cas où l'espace vectoriel V est de dimension ﬁ- nie n, on se donne une base de V (⃗ e1, . . . ,⃗ en) (avec les indices situés en bas), V* étant alors muni de la base duale, notée ici (⃗ e 1, . . . ,⃗ e n) (avec les indices notés en haut). En calculant l'action du tenseur sur ces vecteurs de base, on peut représenter le tenseur T par une gran- deur indicée h+k fois où chacun des indices va de 1 à n, (Ti,j,k,...)1≤i,j,k...≤n . On appelle composante chacun des nombres Ti,j,k,... . Chaque indice multiplie le nombre de composantes né- cessaires par n. Représenter un tenseur d'ordre donné né- cessite donc nordre composantes. 3.4 Notation 3 On distingue les indices qui correspondent à un vecteur ou à un covecteur en les disposant soit en haut, soit en bas. Un vecteur de V s’écrit x = ∑xi⃗ ei , et les xi = ⃗ e i(x) s’appellent composantes contravariantes. Un vecteur de V* s’écrit y = ∑yi⃗ e i , et les yi = y(⃗ ei) s’appellent composantes covariantes. De même, en ce qui concerne les composantes du tenseur, on mettra les uploads/s3/ tense-ur.pdf