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Semestre : S1 Année Universitaire : 2019 / 2020 Filière : Génie Civil 1 Profess

Semestre : S1 Année Universitaire : 2019 / 2020 Filière : Génie Civil 1 Professeur : Mohamed EL HAIM Cours de: Mécanique des Milieux Continus 0-Introduction à la MMC Professeur M.El Haim - ENSAH 0-Introduction à la MMC 1- Quelques Définitions  Mécanique: Il s’agit de la branche de la physique qui décrit les mouvements et les équilibres d’un système.  Milieu: On ne parle pas ici de matériau mais de milieu. On est donc en présence d’une théorie « abstraite », qui est dans un premier temps éloigné de la réalité physique et expérimentale.  Continu: La notion de continuité est intimement liée à celle d’échelle. On va présenter une théorie abstraite, mais on doit garder à l’esprit qu’elle sera appliquée au monde physique. Tous les matériaux réels sont discontinus à petite échelle (molécules, cristaux, grains de sables, etc.). Un matériau réel sera donc considéré comme continu. Professeur M.El Haim - ENSAH 1 2- Positionnement de la MMC au sein de la Mécanique  Mécanique du point: La plus simple des mécaniques « modernes », fondée sur les résultats de Newton. Notions: masse, force, etc.  Mécanique du solide indéformable: On ajoute une « forme » au système de mécanique du point, et donc un volume et une distribution de masse dans ce volume. Notions: rotation, inertie, moment, etc.  Mécanique des milieux continus MMC: On ajoute la possibilité au système de changer de forme, ce qui implique des outils mathématiques beaucoup plus complexes. Notions: déformations, contraintes, etc. Professeur M.El Haim - ENSAH 2 0-Introduction à la MMC Professeur M.El Haim - ENSAH 3 3 - MMC et le modèle de comportement On dit souvent que la matière est sous l’un des trois états classiques: Solide, liquide, gazeux. Question: Que faire des mots suivants: fluide, pâteux, mou, épais, plastique, visqueux, etc. ? Question: Faut-il développer une théorie pour chacun de ces comportements? La réponse est non, car la MMC les couvre tous. En fait, dans un premier temps, la MMC n’a pas besoin de la notion de « consistance », et propose une modélisation mathématique commune à tous ces types de milieux. On décrira cette consistance seulement dans un second temps, avec la notion de modèle de comportement, propre à chaque application dans le monde physique. 0-Introduction à la MMC Professeur M.El Haim - ENSAH 4 4 - Hypothèses  L’échelle du problème à étudier est très grande devant la taille des particules élémentaires. La MMC n’est pas « quantique »  La vitesse de la matière dans le milieu d’étude est négligeable devant celle de la lumière. La MMC n’est pas « relativiste » La MMC est donc dite « classique » 0-Introduction à la MMC Professeur M.El Haim - ENSAH 5 4 - Hypothèses  L’hypothèse principale de la MMC est nommée « hypothèse de continuité »: Les propriétés de la matière (densité, rigidité, etc.) sont continues. L’intérêt de cette hypothèse (parfois contestable) est de pouvoir représenter mathématiquement toutes les grandeurs par des champs, continus et dérivables en temps et en espace.  Implication concrète de cette hypothèse: La MMC ne s’intéresse qu’à des « moyennes locales » Il est impossible de suivre le mouvement individuel de toutes les particules élémentaires d’un milieu. Par exemple, la pression appliquée par un fluide sur une paroi immergée est le résultat d’un très grand nombre d’impacts de particules. Pourtant, on la représente par un seul nombre, qui est l’effet moyen de ces collisions. 0-Introduction à la MMC Professeur M.El Haim - ENSAH 6 5 - Applications La MMC est partout: En tant que théorie de la déformation de la matière, la MMC est absolument omniprésente dans les sciences de l’ingénieur. C’est un des langages communs de l’ingénierie. Applications les plus évidentes: o Procédés industriels (usinage, extrusion, etc.), industrie mécanique (aéronautique, automobiles, etc.), biomécanique, matériaux composites, micromécanique, … o Structures de génie civil, bâtiments, ponts, barrages, routes, ouvrages béton, acier, bois, etc. o Mécanique des fluides, aérodynamique, écoulements en canaux et conduites, écoulements fluviaux et souterrains. o Géophysique, mécanique des sols, mécanique des roches. o Etc. 0-Introduction à la MMC Professeur M.El Haim - ENSAH 7 5 - Applications Avertissement: La plupart des équations mathématiques de la MMC sont insolubles à la main car elles sont trop complexes, et même très souvent insolubles analytiquement. C’est pourquoi, dans le cadre de ce cours: On ne cherchera pas à résoudre des équations, mais seulement à les poser. Bien entendu, les ingénieurs disposent d’une multitude de méthodes de résolutions approchées de ces équations. Pour l’essentiel, on va se concentrer sur la théorie, et non pas sur sa résolution concrète. 0-Introduction à la MMC Professeur M.El Haim - ENSAH Rappels: Éléments de Calcul Tensoriel Chapitre I Professeur M.El Haim - ENSAH 1 Ch.I - Rappels: Éléments de calcul tensoriel 1 – espaces et notations La mécanique des milieux continus s’exprime dans un univers à trois dimensions spatiales et une dimension temporelle. a/ Espace Les trois dimensions spatiales forment un espace euclidien (espace vectoriel muni d’un produit scalaire). On note cet espace E3 , et on utilisera couramment une base orthonormée notée B: Si on choisit un point O comme origine, on aura donc un repère noté: Un élément de cet espace est nommé « vecteur », et est noté: b/ Temps Dans le cadre de la mécanique classique, le temps est absolu. Il est muni d’une structure de droite orientée, dont les points sont appelés « instants » et notés t. 1 2 3 ( , , ) B e e e  1 2 3 ( , , , ) O e e e 1 2 3 1 2 3 x x e x e x e    Professeur M.El Haim - ENSAH 2 1 – espaces et notations c/ Notation d’Einstein La notation d’Einstein est une convention propre au calcul tensoriel. Elle permet d’alléger considérablement les notations. On l’appelle aussi « notation indicielle », ou « convention de l’indice muet ». Cette convention d’écriture s’énonce ainsi: « si un indice apparait deux fois dans la même monôme,on lui fait prendre les valeurs 1, 2, et 3, et on fait la somme de l’ensemble ». Dans cet énoncé, un indice représente une référence à un axe de la base Un indice prend donc toujours la valeur 1, 2, ou 3. Un vecteur peut par exemple s’écrire comme suit: 1 2 3 ( , , ) B e e e  1 2 3 1 2 3 i i x x e x e x e x e     Ch.I - Rappels: Éléments de calcul tensoriel Professeur M.El Haim - ENSAH 3 1 – espaces et notations c/ Notation d’Einstein  Exemples: o si l’on rencontre le terme ai.bi dans une équation, il faut plutôt comprendre qu’elle signifie : Par conséquent, on aura : Ce qui explique pourquoi cet indice est nommé indice muet : la lettre le représentant n’a aucune importance, la seule chose importante est qu’il est répété et donc qu’il faut faire la somme de 1 à 3. o Soit la somme suivante: On peut simplifier cette écriture sous la forme suivante: . . . i i j j k k a b a b a b   1 1 2 2 3 3 a b a b a b   11 1 1 12 2 1 21 1 2 22 2 2 a bc a b c a bc a b c    2 2 11 1 1 12 2 1 21 1 2 22 2 2 1 1 ij j i i j a b c a b c a b c a b c a b c       Ch.I - Rappels: Éléments de calcul tensoriel Professeur M.El Haim - ENSAH 4 1 – espaces et notations 11 1 1 12 2 1 13 3 1 21 1 2 22 2 2 23 3 2 1 1 ... ... n n n ij j i i j S a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c            c/ Notation d’Einstein Alors d’une façon générale, on écrit: La convention d’Einstein consiste à omettre les signes et d’écrire: Les indices de sommation i et j sont appelés indices muet car on peut changer leurs noms sans changer la valeur du résultat, en effet: N.B: Une des utilisations les plus évidentes de cette notation est le produit scalaire de deux vecteurs: Il est important d’être à l’aise avec cette notation car elle est omniprésente dans la suite du cours.  n ij j i S a b c  n ij j i ik k i S a b c a b c   Ch.I - Rappels: Éléments de calcul tensoriel . i i U V U V  Professeur M.El Haim - ENSAH 5 1 – espaces et notations Ch.I - Rappels: Éléments de uploads/s3/ cha-mmc.pdf