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Formes différentielles Exercice 1 Déterminer si les formes différentielles suiv

Formes différentielles Exercice 1 Déterminer si les formes différentielles suivantes sont exactes et dans ce cas, les intégrer : 1. ω1 = 2xydx+x2dy 2. ω2 = xydx−zdy+xzdz 3. ω3 = 2xex2−ydx−2ex2−ydy 4. ω4 = yz2dx+(xz2 +z)dy+(2xyz+2z+y)dz. Exercice 2 On considère le changement de variables en coordonnées sphériques suivant :    x = rcosϕ cosθ y = rcosϕ sinθ z = rsinϕ 1. Calculer dx, dy, dz. 2. Vériﬁer que xdx+ydy+zdz = rdr. En déduire ∂r ∂x, ∂r ∂y et ∂r ∂z. Exercice 3 On considère la forme différentielle ω = (x2 +y2 +2x)dx+2ydy. 1. Montrer que ω n’est pas exacte. 2. Trouver une fonction ψ(x) telle que ψ(x)ω = d f. Préciser alors f. (On dit que ψ est un facteur intégrant.) Exercice 4 On considère le champ vectoriel ⃗ V(x,y) = (1+2xy,x3 −3). Ce champ est-il un champ de gradient ? Correction ▼ [006876] Exercice 5 Quel est le champ vectoriel qui dérive du potentiel U(x,y,z) = 1+x+xy+xyz? Correction ▼ [006877] Exercice 6 Calculer la circulation du champ vectoriel ⃗ V(x,y) = (3x,x + y) le long du cercle C de centre O et de rayon 1, parcouru dans le sens direct. 1 Correction ▼ Correction ▼ Correction ▼ Ch1:Rappel Mathématique Thermodynamique Exercices Exercice 7 Calculer le travail W de la force ⃗ F(x,y,z) = (yz,zx,xy) le long de l’hélice H paramétrée par x = cost, y = sint et z = t où t varie de 0 à π 4 . Exercice 8 On donne le champ vectoriel ⃗ V(x,y,z) = (y2 cosx,2ysinx+e2z,2ye2z). 1. Montrer que ce champ est un champ de gradient. 2. Déterminer le potentiel U(x,y,z) dont dérive ce champ sachant qu’il vaut 1 à l’origine. 3. Quelle est la circulation de ce champ de A(0,1,0) à B(π 2 ,3,0) ? Exercice 9 En utilisant la formule de Green-Riemann, calculer I = RR D xydxdy où D = {(x,y) ∈R2 |x ⩾0;y ⩾0;x+y ⩽1}. Exercice 10 On considère la forme différentielle ω = −y x2 +y2 dx+ x x2 +y2 dy. 1. Dans quel domaine cette forme différentielle est-elle déﬁnie ? 2. Calculer l’intégrale curviligne R C ω où C est le cercle de centre O et de rayon 1, parcouru dans le sens direct. 3. La forme ω est-elle exacte ? Références P. Thuillier, J.C. Belloc, Mathématiques, analyse tome 1, 2ème édition, Masson (1990). D. Duverney, S. Heumez, G. Huvent, Toutes les mathématiques MPSI, PCSI, PTSI, TSI, Ellipses (2004). 2 Correction ▼ Indication ▼ Correction ▼ Correction ▼ Correction ▼ Correction ▼ Indication pour l’exercice 9 ▲ On rappelle la formule de Green-Riemann qui permet de faire le lien entre intégrale double et intégrale curvi- ligne : Théorème. Soit D un domaine de R2 limité par une courbe fermée C que l’on suppose coupée par toute parallèle aux axes en deux points au plus. On considère une forme différentielle ω = Pdx+Qdy déﬁnie sur D. Si les fonctions P et Q sont de classe C1, on a : Z C + Pdx+Qdy = ZZ D(∂Q ∂x −∂P ∂y )dxdy où l’on a noté C + la courbe C que l’on a orientée dans le sens direct. 3 Correction de l’exercice 1 ▲ 1. Pour ω1, on pose P(x,y) = 2xy et Q(x,y) = x2. Comme ω1 est déﬁnie sur l’ouvert étoilé R2 et que ∂P ∂y = ∂Q ∂x = 2x, le théorème de Poincaré permet de dire que ω1 est exacte. On cherche f tel que d f = ω1. Ceci équivaut à résoudre le système ( ∂f ∂x = 2xy ∂f ∂y = x2 En intégrant la première ligne par rapport à x, on trouve f(x,y) = x2y + c(y). En dérivant l’expression que l’on vient d’obtenir par rapport à y et en identiﬁant avec la deuxième ligne du système, on trouve ∂f ∂y = x2 +c′(y) = x2. Il s’ensuit que c′(y) = 0 et donc que c(y) = c ∈R. Par suite, la fonction f cherchée est : f(x,y) = x2y+c où c est une constante réelle. 2. Pour ω2, on pose P(x,y,z) = xy, Q(x,y,z) = −z et R(x,y,z) = xz. On constate que ∂P ∂y = x alors que ∂Q ∂x = 0. La forme ω2 n’est donc pas exacte. 3. Pour ω3, on pose P(x,y) = 2xex2−y et Q(x,y) = −2ex2−y. Là aussi, ∂P ∂y ̸= ∂Q ∂x puisque ∂P ∂y = −2xex2−y alors que ∂Q ∂x = −4xex2−y ; ω3 n’est donc pas exacte. 4. Pour ω4, posons P(x,y,z) = yz2, Q(x,y,z) = xz2 +z, R(x,y,z) = 2xyz+2z+y. On constate que (a) ∂P ∂y = ∂Q ∂x = z2 (b) ∂P ∂z = ∂R ∂x = 2zy (c) ∂Q ∂z = ∂R ∂y = 2xz+1. La forme ω4 est de plus déﬁnie sur l’ouvert étoilé R3, elle est donc exacte d’après le théorème de Poin- caré. Cherchons maintenant f telle que d f = ω4, ceci revient à résoudre le système :      ∂f ∂x = yz2 ∂f ∂y = xz2 +z ∂f ∂z = 2xyz+2z+y En intégrant la première équation par rapport à x, on trouve f(x,y,z) = xyz2 +ψ(y,z). Maintenant, en dérivant l’expression obtenue successivement par y et z et en égalisant avec les deux dernières équations du système, on obtient un nouveau système ( xz2 + ∂ψ ∂y = xz2 +z 2xyz+ ∂ψ ∂z = 2xyz+2z+y qui équivaut à : ( ∂ψ ∂y = z (1) ∂ψ ∂z = 2z+y (2) Finalement, en intégrant (1) par rapport à y, il vient ψ(y,z) = zy + c(z). En dérivant cette expression de ψ par rapport à z et en égalisant avec (2), on trouve y + c′(z) = 2z + y, c’est-à-dire c′(z) = 2z donc c(z) = z2 +c où c ∈R. Ainsi, la fonction f telle que ω4 = d f est de la forme f(x,y,z) = xyz2 +zy+z2 +c où c ∈R. 4 Correction de l’exercice 2 ▲ 1. On vériﬁe que : (a) dx = cosϕ cosθdr −rsinϕ cosθdϕ −rsinθ cosϕdθ (b) dy = cosϕ sinθdr −rsinϕ sinθdϕ +rcosθ cosϕdθ (c) dz = sinϕdr +rcosϕdϕ. Par suite, on a : (a) xdx = rcos2 ϕ cos2 θdr −r2 sinϕ cosϕ cos2 θdϕ −r2 sinθ cosθ cos2 ϕdθ (b) ydy = rcos2 ϕ sin2 θdr −r2 sinϕ cosϕ sin2 θdϕ +r2 cosθ sinθ cos2 ϕdθ (c) zdz = rsin2 ϕdr +r2 cosϕ sinϕdϕ. 2. En additionnant, on obtient xdx+ydy+zdz = rdr. On en déduit que : xdx+ydy+zdz = r(∂r ∂xdx+ ∂r ∂ydy+ ∂r ∂zdz). Ainsi ∂r ∂x = x r ∂r ∂y = y r ∂r ∂z = z r. Correction de l’exercice 3 ▲ 1. Posons P(x,y) = x2 + y2 + 2x et Q(x,y) = 2y. On voit facilement que ∂P ∂y ̸= ∂Q ∂x . La forme ω n’est donc pas exacte. 2. Comme ω est déﬁnie sur R2, il sufﬁt que ψω soit exacte pour que f existe. Maintenant, ψω est exacte si et seulement si ∂(ψ(x)(x2 +y2 +2x)) ∂y = ∂(ψ(x)2y) ∂x . Ceci équivaut à 2yψ(x) = 2yψ′(x). Ainsi, ψ(x) = ψ′(x) pour tout x. Donc ψ(x) = kex avec k constante. On peut choisir k = 0. Ainsi ψω = ex(x2 +y2 +2x)dx+ex(2y)dy. On cherche ensuite f telle que : ( ∂f ∂x = ex(x2 +y2 +2x) ∂f ∂y = ex(2y) En intégrant la deuxième équation par rapport à y, on trouve f(x,y) = exy2 +c(x). En dérivant cette expression par rapport à x et en égalisant avec la première équation du système, on obtient exy2 +c′(x) = ex(x2 +y2 +2x) c’est-à-dire c′(x) = ex(x2 +2x). Il en résulte que c(x) = x2ex +c et donc que f(x,y) = ex(x2 +y2)+c avec c dans R. 5 Correction de l’exercice 4 ▲ Au champ ⃗ V(x,y) est associée la forme ω = (1+2xy)dx+(x3 −3)dy. Cette forme n’est pas exacte puisque ∂(1+2xy) ∂y ̸= ∂(x3−3) ∂x . Il s’ensuit que ⃗ V(x,y) n’est pas un champ de gradient. Correction de l’exercice 5 ▲ Le champ vectoriel qui dérive du potentiel U est ⃗ grad(U) = (∂u ∂x, ∂u ∂y, ∂u ∂z ). Il s’agit donc du champ vectoriel de composantes : ⃗ grad(U) = (1+y+yz,x+xz,xy). Correction de l’exercice 6 ▲ Soit ω = 3xdx + (x + y)dy la forme différentielle naturellement associée à ⃗ V(x,y) et considérons x = cost et y = sint comme paramétrage du cercle de centre O et de rayon 1 (avec t ∈[0;2π]). Il s’ensuit que la circulation R C⃗ V.⃗ dl n’est autre que : Z C ⃗ V.⃗ dl = Z C w = Z 2π 0 (3cost(−sint)+(cost +sint)cost)dt. Comme cos2t = cos(2t)+1 2 , on obtient : Z C ⃗ V.⃗ dl = Z 2π 0 (−2sint cost + cos(2t)+1 2 )dt = [cos2(t)+ 1 4 sin(2t)+ t 2]2π 0 = π. Remarquons que si la forme ω avait été exacte, on aurait obtenu R C⃗ V.⃗ dl = 0 comme réponse, puisque l’intégrale curviligne d’une forme exacte sur une courbe fermée est nulle. Correction de l’exercice 7 ▲ Notons ω = uploads/s3/ thermo-exercices-ch0-rap-mathematique.pdf