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1 MINESEC Année scolaire : 2017-2018 Lycée Bilingue de Moloundou Classe : T leD

1 MINESEC Année scolaire : 2017-2018 Lycée Bilingue de Moloundou Classe : T leD Durée : 3 heures Département de Mathématiques Séquence 1 Octobre 2017 Coefﬁcient : 04 Épreuve de Mathématiques Le correcteur tiendra compte de la rigueur dans la rédaction et de la clarté de la copie. EXERCICE 1 [4pts] 1. Déterminer par la méthode du pivot de GAUSS, le triplet (x, y,z) solution du système (S) ci après : [1.5pt] (S) :      x + y + z = 100 3x −2y −7z = 0 6x −5y −11z = 0 2. Un homme, sa femme et leur enfant ont au total 100 ans. Dans n années, l’homme aura la somme des âges de sa femme et de l’enfant. Il y a n années, la femme avait le quadruple de l’âge de l’enfant et l’homme était 6 fois plus âgé que l’enfant. a. Montrer que la résolution de ce problème revient à Résoudre le système (S). [1.5pt] b. En déduire les âges actuels des trois personnes. [1 pt] EXERCICE 2 [7pts] 1. Démontrer par récurrence les propositions suivantes. a. Pour tout entier naturel n ≥1 n P k=1 k(k +1) = n(n+1)(n+2) 3 . [1.5pt] b. Pour tout entier naturel n, 52n −4n est un multiple de 7. [1.5pt] c. Pour tout entier naturel n, 32n+2 +26n+1 est divisible par 11 . [1.5pt] 2. Linéariser sin4 x. [1pt] 3. Résoudre dans C l’équation z4 = −2+i2 p 3. [1pt] 4. Déterminer l’ensemble des points M du plan d’afﬁxe z tel que | z |2 +z + z = 8. [0.5pt] EXERCICE 3 [9pts] I. 1. Soit z le nombre complexe égal à 1+i p 3 a. Mettre z sous la forme trigométrique. [0.5pt] b. En déduire la forme algébrique du nombre complexe (1+i p 3)10. [0.5pt] 2. On donne les nombres complexes z1 = −1−i et z2 = −1+i p 3 a. Calculer le module et un argument de chacun des nombres complexes z1 et z2. [0.5pt] b. Soit Z le nombre complexe égal à z1 z2 . Déterminer la forme algébrique et la forme trigomé- trique de Z. [1pt] c. En déduire le cosinus et le sinus de 7π 12 . [1pt] II. On se propose de résoudre l’équation z4 −(1+ p 2)z3 +(2+ p 2)z2 −(1+ p 2)z +1 = 0. On pose P(x) = z4 −(1+ p 2)z3 +(2+ p 2)z2 −(1+ p 2)z +1 Epreuve de Mathématiques, Classe : T le D ©Lycée Bilingue de Moloundou Octobre 2017 2 1. Résoudre dans C l’équation : z2 −(1+ p 2)z + p 2 = 0. [1pt] 2. Résoudre dans C les équations (E1) : z + 1 z = 1 et (E2) : z + 1 z = p 2. [1.5pt] On notera z1 et z2 les solutions de (E1), et z3 et z4 les solutions de (E2) ; avec Im(z1) > 0, et Im(z4) > 0 3. Vériﬁer que pour tout z non nul , on a :P(z) z2 = (z + 1 z )2 −(1+ p 2)(z + 1 z )+ p 2. [1pt] 4. En déduire les solutions de l’équations P(z) = 0. [1pt] 5. Placer les points solutions dans un repère . [1pt] EXAMINATEUR : Département de Mathématiques. «Ce n’est pas parce que les choses sont difﬁciles que nous n’osons pas, c’est parce que nous n’osons pas qu’elles sont difﬁciles : Disait SENEQUE» Epreuve de Mathématiques, Classe : T le D ©Lycée Bilingue de Moloundou Octobre 2017 uploads/s3/ tle-d.pdf