Exercice 2 Corrigé SPÉCIALITÉ BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2016 MATHÉMATIQUES S

Exercice 2 Corrigé SPÉCIALITÉ BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2016 MATHÉMATIQUES Série S Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité Durée de l’épreuve : 4 heures Coefficient : 9 Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1/6 à 6/6. Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément à la circulaire n° 99-186 du 16 novembre 1999. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. 16 MASCSPO1 Page 1/6 EXERCICE 2 (3 points) Commun à tous les candidats Soit u la suite définie par u0 = 2 et, pour tout entier naturel n, par un+1 = 2un +2n2 −n On considère également la suite v définie, pour tout entier naturel n, par vn = un +2n2 +3n +5 1. Voici un extrait de feuille de tableur. Quelles formules a-t-on écrites dans les cellules C2 et B3 et copiées vers le bas pour afficher les termes des suites u et v ? 2. Déterminer, en justifiant, une expression de vn et de un en fonction de n uniquement. 16 MASCSPO1 Page 4/6 1 alainpiller. fr 1.  Quelles formules a-t-on écrites dans les cellules C2 et B3 et copiées vers le bas pour afficher les termes des suites U et V ? Les formules sont: • En C2: on entre << = B2 + 2 * A2 * A2 + 3 * A2 + 5 >> ou: << = B2 + 2 * A2 ^ 2 + 3 * A2 + 5 >> . • En B3: on entre << = 2 * B2 + 2 * A2 * A2 - A2 >> ou: << = 2 * B2 + 2 * A2 ^ 2 - A2 >> . 2.  Déterminons, en justifiant, une expression de Vn et de Un en fonction uniquement de n: Prenons: Vn = Un + 2n2 + 3n + 5 (1 ). Des calculs faits au brouillon, à partir de l’expression (1 ), permettent d’affirmer que, a priori, la suite (Vn ) est géométrique et s’écrit: Vn = 7 x 2n. Ainsi, nous allons montrer par récurrence que: " pour tout entier naturel n: Vn = 7 x 2n ". Initialisation: • V0 = U0 + 2 (0)2 + 3 x 0 + 5 = 2 + 2 (0)2 + 3 x 0 + 5 ( car U0 = 2 ) => V0 = 7. Donc nous avons bien: V0 = 7 x 20. • V1 = U1 + 2 (1 )2 + 3 x 1 + 5 EXERCICE 2 [ Polynésie 2016 ] 2 alainpiller. fr = 4 + 2 (1 )2 + 3 x 1 + 5 ( car U1 = 4 ) => V1 = 14. Donc nous avons bien: V1 = 7 x 21. Hérédité:  Soit n ı –, supposons Vn = 7 x 2n et montrons qu’alors: Vn + 1 = 7 x 2(n + 1 ). Supposons: Vn = 7 x 2n, pour un entier naturel n fixé . (2) (2) => Vn - ( 2n2 + 3n + 5 ) = 7 x 2n - ( 2n2 + 3n + 5 ) => Un = 7 x 2n - ( 2n2 + 3n + 5 ) => 2 Un = 2 x 7 x 2n - 2 ( 2n2 + 3n + 5 ) => 2 Un + 2n2 - n = 7 x 2(n + 1 ) - 4n2 - 6n - 10 + 2n2 - n => Un + 1 = 7 x 2(n + 1 ) - 2n2 - 7n - 10 => Un + 1 + 2 ( n + 1 )2 + 3 ( n + 1 ) + 5 = 7 x 2(n + 1 ) => Vn + 1 = 7 x 2(n + 1 ) . Conclusion: Pour tout entier naturel n, nous avons: Vn = 7 x 2n . En conclusion, les expressions de Vn et de Un en fonction uniquement de n sont: • Vn = 7 x 2n . • Un = 7 x 2n - ( 2n2 + 3n + 5 ) . uploads/s3/ bac-s-mathematiques-polynesie-2016-specialite-corrige-exercice-2-suites.pdf

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