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Reduction des endos Caractérisation des valeurs propres : Soit un endomorphisme

Reduction des endos Caractérisation des valeurs propres : Soit un endomorphisme d'un -espace vectoriel de dimension finie égale à . est une valeur propre de si et seulement si : et . Or la propriété équivaut à la propriété Donc est une valeur propre de si et seulement si : et . Ce qui équivaut à : et . L'intérêt de ce résultat est que n'apparaît plus dans la formule et que l'on a réussi à disjoindre et . Ce résultat peut encore être amélioré en utilisant la caractérisation d'un endomorphisme non injectif dans un espace de type fini, de dimension . En effet on a les équivalences suivantes : rang det D'où la propriété : i( Propriété : Caractérisation d'une valeur propre Un élément du corps de base de l'espace vectoriel est une valeur propre de si et seulement si det . Cette propriété donne donc un procédé pratique pour déterminer les valeurs propres d'un endomorphisme. Exemple Soit l'endomorphisme de défini par , où désigne la base canonique de . Pour déterminer ses valeurs propres il faut, d'après la caractérisation précédente, chercher les éléments de , tels que det . Pour cela il est naturel d'écrire la matrice associée à dans la base canonique et de calculer det qui est égal à det . On a et par conséquent det . Donc det . Les réels et sont donc les valeurs propres de . Exemple Soit l'endomorphisme de défini par , où désigne la base canonique de . De même que précédemment, on écrit la matrice associée à dans la base canonique et on calcule det . On a et par conséquent det . Or il n'y a pas de réels tels que soit nul (le discriminant du trinôme est strictement négatif). Donc l'endomorphisme n'admet pas de valeurs propres. Exemple Soit l'endomorphisme de défini par où désigne la base canonique de . De même que précédemment, on écrit la matrice associée à dans la base canonique et on calcule det . On a et par conséquent det La seule valeur réelle de annulant det est . Donc a une seule valeur propre qui est . Polynôme caractéristique On a donc vu apparaître naturellement l'expression det . Elle va être étudiée plus précisément en introduisant le vocabulaire des polynômes. Soit un élément du corps de base . Pour calculer le déterminant de l'endomorphisme de , il est nécessaire (c'est illustré par les exemples précédents) d'introduire la matrice associée à par rapport à une base de . Soit donc une base de et la matrice associée à par rapport à cette base. Alors la matrice associée à est et par conséquent det det . Si , on a : det det L'expression explicite de ce déterminant prouve que c'est une expression polynômiale en , de degré , dont le coefficient du terme de plus haut degré est égal à . Si est la matrice associée à par rapport à une autre base de , les matrices et sont semblables, donc aussi les matrices et ; elles ont donc même déterminant. Donc l'expression det ne dépend que de et non pas du choix de la base de et de la matrice qui lui est associée dans cette base. Comme le corps considéré est ou , il est infini et l'on sait qu'il y a un unique polynôme à coefficients dans , associé à la fonction polynôme det . On le note det . Plus précisément, si det , on a det . Remarque Les étudiants qui ne connaissent pas la théorie des polynômes peuvent l'admettre aisément ; tout fonctionne ici, pour les polynômes, comme pour les fonctions polynômes qui sont bien connues. De plus la notation det est en fait tout à fait justifiable : en effet la théorie des déterminants des matrices à coefficients dans un corps se généralise aux matrices à coefficients dans un anneau commutatif (de caractéristique différente de 2) par exemple l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps ( ou ici). Il n'y a donc aucun inconvénient à écrire det det Dans cette première ressource sur la diagonalisation des endomorphismes, il n'y a aucune difficulté théorique de ce point de vue et l'utilisation de ces propriétés et notations ne pose aucun problème. On peut donc donner la définition suivante : Définition : Polynôme caractéristique Soit un endomorphisme d'un -espace vectoriel de dimension , entier supérieur ou égal à ( est égal à ou ) et la matrice associée à par rapport à une base de . Le polynôme det qui est égal à det est appelé polynôme caractéristique de et est noté . det det C'est un polynôme à coefficients dans , de degré , dont le coefficient dominant est . Exemple 1. Si l'on reprend les exemples précédents, il vient : 2. Il est immédiat que Caractérisation des valeurs propres d'un endomorphisme à l'aide du polynôme caractéristique : Le théorème suivant est une conséquence immédiate de ce qui a été vu précédemment. Théorème : Valeurs propres et polynôme caractéristique Soit un endomorphisme d'un - espace vectoriel de type fini. Un élément de est valeur propre de si et seulement si il est racine du polynôme caractéristique de . Définition : Racine d'un polynôme Soit un polynôme à coefficients dans où est égal à ou à . On dit qu'un élément de est une racine de si . Attention L'existence et le nombre de valeurs propres d'un endomorphisme dépendent essentiellement du corps de base de l'espace vectoriel. Si l'on considère par exemple le troisième exemple, le polynôme a une seule racine réelle, qui est donc la seule valeur propre de . Mais si on le considère comme un polynôme à coefficients complexes, il a trois racines qui sont . Conséquence importante il découle immédiatement de cette remarque qu'un endomorphisme d'un espace vectoriel complexe (c'est-à-dire dont le corps de base est ) admet toujours des valeurs propres (puisque un polynôme à coefficients dans a toujours des racines d'après le théorème de D'Alembert-Gauss) alors qu'un endomorphisme d'un espace vectoriel réel peut ne pas avoir de valeurs propres (l'endomorphisme des exemples précédents n'a pas de valeur propre). Remarque : Remarque sur la définition du polynôme caractéristique On trouve aussi dans la littérature mathématique det comme définition du polynôme caractéristique. L'avantage de cette autre définition est d'avoir un polynôme unitaire, l'inconvénient en est une source supplémentaire d'erreurs de calculs. Or, d'une part d'après les propriétés de déterminants, on a : det det . D'autre part, seules nous intéressent les racines du polynôme caractéristique ainsi que leur ordre de multiplicité (cela sera vu plus loin). Ces propriétés sont évidemment les mêmes que l'on prenne ou , ces deux polynômes ne différant que par une constante multiplicative non nulle. Sous-espace propre associé à une valeur propre Une fois déterminées les valeurs propres d'un endomorphisme, s'il y en a, on peut rechercher les vecteurs propres associés. Cela revient à résoudre l'équation linéaire , c'est-à-dire à déterminer Ker . Définition : Sous-espace propre associé à une valeur propre Soit un endomorphisme d'un -espace vectoriel de type fini et une valeur propre de . On appelle sous-espace propre associé à la valeur propre le noyau de , soit Ker . Les notations usuelles pour le sous-espace propre associé à une valeur propre sont ou ou . Il résulte donc de la définition que le sous-espace propre associé à une valeur propre est un sous-espace vectoriel dont les éléments sont le vecteur nul et les vecteurs propres associés à . Compte tenu de cette définition on a les équivalences : valeur propre dim Notion de matrice diagonalisable, de valeur propre d'une matrice, de vecteur propre d'une matrice : On a les définitions suivantes : Définition : Définitions et propriétés immédiates Soit une matrice carrée d'ordre à coefficients dans où est égal à ou . 1. On dit que est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale c'est-à-dire s'il existe deux matrices et de telles que soit diagonale, inversible et . 2. Une matrice colonne appartenant à est un vecteur propre de si : et , . 3. Un élément de est une valeur propre de si il existe , non nul, appartenant à tel que . 4. Un élément de est une valeur propre de si et seulement si det . 5. On appelle polynôme caractéristique de le polynôme det . On le note . 6. Un élément de est une valeur propre de si et seulement c'est une racine du polynôme caractéristique de . 7. Le sous-espace propre associé à la valeur propre est égal à l'ensemble des appartenant à tels que autrement dit l'ensemble des matrices colonnes telles que . Exemple : Polynôme caractéristique d'une matrice carrée d'ordre 2 Soit une matrice carrée d'ordre à coefficients réels ou complexes. Alors , soit En remarquant que est la trace de la matrice et son déterminant, cette formule peut être écrite : det En fait ce résultat se généralise au cas d'une matrice carrée d'ordre . On a la propriété suivante : Propriété : Quelques uploads/s3/ caracterisation-des-valeurs-propres.pdf