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1 Chapitre 1: Flambement 2 Les éléments élancés comprimés provoquent une déform

1 Chapitre 1: Flambement 2 Les éléments élancés comprimés provoquent une déformation par flexion particulière des parties comprimées appelée le flambement. Les éléments qui ont un élancement réduit faible c.-à-d. 0.2 λ − ≤ ne risque pas le flambement. Pour les éléments qui ont un élancement réduit supérieur à 0.2 ( 0.2 λ − > ), les expériences ont montré qu’elles flambent avec une prédisposition liée à la forme de leur section (On verra ça un peu plus loin dans le cours). 1- Comportement et dimensionnement des éléments comprimés : Dans les éléments comprimés, on distingue : - Les éléments courts avec un élancement faible - Les éléments très élancés 1-1. Les éléments courts : Leur résistance à la compression est dictée par la résistance à la compression de la section transversale, qui est en fonction de la classe de section. Pour les sections transversales de la classes 1,2,3 soumises à un effort de compression axiale Nc,Sd : la résistance à la compression de calcul est prise égale à la résistance plastique de calcul de la section. , , , 0 . y c Sd c Rd pl Rd M A f N N N γ ≤ = = Le mode de ruine des poteaux courts est la plastification complète de la section, entrainant des déformations importantes pour tout effort supérieur au seuil de plastification. 1-2. Les poteaux métalliques élancés : L’élancement de ces poteaux influe beaucoup sur leur comportement à la compression et entraine un phénomène d’instabilité appelé le flambement. 3 2- Flambement simple : Le flambement est le mode de ruine le plus dangereux pour les éléments comprimés qui présentent un certain élancement. Il se traduit par une déformation de flexion brutale de l’élément à partir d’une certaine valeur donnée de l’effort de compression appliqué. Rectiligne Curviligne fléchi Instable Fig. Etat d’équilibre Le problème revient à déterminer cette valeur de N (Ncr) pour que l’élément comprimé reste en équilibre curviligne stable. La théorie d’Euler est basée sur : Un élément parfait sans imperfection, bi-articulé à ses extrémités, soumis à un effort de compression centré N et présentant un élancement important. D’après l’équation de la déformée en flexion issue de la résistance des matériaux on peut écrire : 2 2 . d y EI M dx = − Avec M= N.y : moment de flexion 4 2 2 . . d y EI N y dx = − En remplaçant dans l’équation de la déformée on aura : 2 2 . . 0 EI d y N y dx + = ⇒ 2 2 . 0 d y N y dx EI + = Posant N k EI = On obtient l’équation suivante : 2 2 2 . 0 d y k y dx + = Equation différentielle du second degré, qui a pour solution générale : sin( ) cos( ) y A Kx B Kx = + Où : A et B sont des constantes d’intégration. La résolution de cette équation s’opère grâce aux conditions aux limites : - Pour x=0, y(0)=0 et donc B=0 - Pour x=L0, y(l0)=0, et donc A sin(Kl0)=0 Deux cas sont possibles : - Soit A=0 et y(x)=0 quel que soit x, dans ce cas, seul l’équilibre rectiligne est possible. - Soit : sin(Kl0)=0 et donc Kl0 = nπ ; K = nπ/l0 Avec n : entier naturel En remplaçant K par son expression : 0 n N EI l π = D’où : Mathématiquement N peut avoir plusieurs valeurs en fonction de n. n entier naturel (0,1,2,3,…..) n=1 2 2 0 . EI N l π = Ces valeurs de N n’ont aucun sens physique (déformation inacceptable pour un poteau), sauf pour n=1. L’élément est rectiligne si n=0, donc N=0. Pour qu’il reste fléchi, il faut que n soit au moins égal à 1, ce qui conduit à la valeur minimale de N, correspondant à un équilibre 5 2 2 2 0 n . EI N l π = athématiquement N peut avoir plusieurs valeurs en fonction de n. n entier naturel (0,1,2,3,…..) ; on appelle n^2 : modes de flambement n=2 2 2 0 4. . EI N l π = N Ces valeurs de N n’ont aucun sens physique (déformation inacceptable pour un poteau), sauf L’élément est rectiligne si n=0, donc N=0. il faut que n soit au moins égal à 1, ce qui conduit à la valeur minimale équilibre fléchi de l’élément qui vaut : 2 2 0 . cr EI N l π = : modes de flambement n=3 2 2 0 9. . EI N l π = Ces valeurs de N n’ont aucun sens physique (déformation inacceptable pour un poteau), sauf il faut que n soit au moins égal à 1, ce qui conduit à la valeur minimale 6 Ncr : est la charge critique d’EULER De façon plus générale, pour des conditions aux limites quelconques, on démontre que la charge critique d’Euler s’écrit : 2 2 0 m. . cr EI N l π = Où : m est un coefficient permettant de définir une longueur de flambement équivalente à celle de l’élément bi-articulé. On pose habituellement : 0 k l L m = D’où : 2 2 . cr k EI N l π = Lk : Longueur de flambement de l’élément L0 : Longueur initiale, Le tab. suivant montre les valeurs de m et de Lk pour les conditions aux limites usuelles. 7 8 A la charge critique d’Euler Ncr correspond une contrainte critique de flambage élastique : 2 2 0 . . . cr N E I cr A Al π σ = = Avec : A est l’aire de la section droite de l’élément. En remplaçant Ncr par son expression, on aura : 2 2 2 2 2 0 0 . . . . cr N E I E cr i A l A l π π σ = = = Avec : I i A = , rayon de giration minimal, correspond à l’inertie ‘’I’’ minimale et à l’élancement maximal 0 l i λ = , on obtient finalement : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2 . . . . . cr E E E E i l l l i i π π π π σ λ = = = =       2 2 . cr E π σ λ ⇒ = La figure ci-dessous montre l’évolution de σcr en fonction de l’élancement λ on remarque que : Fig. Hyperbole d’Euler 9 A la limite de bifurcation d’équilibre, pour laquelle σcr = fy, correspond un élancement critique λl. Dans le cas d’un élément bi-articulé en Acier S235, l’élancement critique vaut : 210000 . . 93,9 235 l cr E λ π π σ = = = Pour les différentes nuances d’aciers : . 93,9 l y E f λ π ε = = avec : 235 y f ε = Comportement des différents profilés à la compression : L’observation expérimentale du comportement des éléments réels en profilés laminés ont montré que le flambement se produit toujours pour des charges inférieurs à la charge critique d’Euler. Ceci explique par la présence d’imperfections géométriques comme le défaut de rectitude, l’excentricité de l’effort N et la présence de contraintes résiduelles résultant du processus de laminage. Afin de pouvoir comparer les différents résultats d’essais, on passe par des grandeurs sans dimensions en introduisant une valeur particulière de λ et λl qui donne une contrainte critique d’Euler égale à la limite élastique : 2 2 . y l E f π λ = En posant cr y f σ χ = et en remplaçant σcr et fy par leurs expressions respectives, on obtient : 2 2 2 2 2 2 . . l E E π λ χ π λ λ = = = = cr y f σ χ = : Désigne la contrainte critique d’Euler réduite et l λ λ λ − = : l’élancement réduit de l’élément dans le plan de flambement considéré. Les résultats d’essais sont alors représentés sous forme de courbe dans le plan ( l’ensemble des résultats est rassemblé sous forme de quatre courbes (a, b, c et d). 10 2 2 2 2 2 2 1 1 l l λ π λ λ λ λ − = = = = . χ ⇒ = : Désigne la contrainte critique d’Euler réduite : l’élancement réduit de l’élément dans le plan de flambement considéré. d’essais sont alors représentés sous forme de courbe dans le plan ( l’ensemble des résultats est rassemblé sous forme de quatre courbes (a, b, c et d). Fig. Courbes de flambement 2 1 λ − : l’élancement réduit de l’élément dans le plan de flambement considéré. d’essais sont alors représentés sous forme de courbe dans le plan ( ; χ λ − ) l’ensemble des résultats est rassemblé sous forme de quatre courbes (a, b, c et d). 11 Détermination de χ : 1- Analytiquement : L’expression analytique des courbes de flambement permet uploads/s3/ flambe-ment.pdf