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Chapitre 1 ´ Ev´ enements et probabilit´ es, probabilit´ e conditionnelle et in

Chapitre 1 ´ Ev´ enements et probabilit´ es, probabilit´ e conditionnelle et ind´ ependance On cherche ici ` a proposer un cadre math´ ematique dans lequel on puisse parler sans ambiguit´ e de “la probabilit´ e qu’un ´ ev´ enement A donn´ e se r´ ealise” lors du d´ eroulement de l’exp´ erience E ` a r´ esultat al´ eatoire ou de “la probabilit´ e qu’une variable X dont la valeur d´ epend du r´ esultat de E prenne sa valeur dans un domaine donn´ e”. 1.1 Notions de base D´ eﬁnition 1.1 Ωest l’ensemble de toutes les ´ eventualit´ es, ou r´ esultats possibles d’une exp´ erience al´ eatoire E. On l’appelle espace d’´ echantillonnage ou ensemble fondamental. D´ eﬁnition 1.2 un ´ ev´ enement A est un ensemble d’´ eventualit´ es poss´ edant la mˆ eme propri´ et´ e. Il est donc repr´ esent´ e par un sous-ensemble A de Ω. Si le r´ esultat d’une exp´ erience est un ´ el´ ement de A, on dit que l’´ ev´ enement A a ´ et´ e r´ ealis´ e. – L’ensemble vide Ø est appel´ e ´ ev´ enement impossible, puisqu’aucun ´ el´ ement de Ø ne peut ˆ etre r´ ealis´ e. – L’ensemble des cas possibles Ωest appel´ e ´ ev´ enement certain. – Un ´ ev´ enement ne comportant qu’un seul r´ esultat possible est appel´ e ´ ev´ enement ´ el´ ementaire. – L’´ ev´ enement A compl´ ementaire de A dans Ω, est appel´ e ´ ev´ enement contraire de A. ´ Etant donn´ es deux ´ ev´ enements A et B, on d´ eﬁnit : – A ∩B la conjonction des ´ ev´ enements A et B, r´ ealis´ e si A et B sont tous les deux r´ ealis´ es. Si A∩B = Ø, on dit que les ´ ev´ enements A et B sont incompatibles ou disjoints (ou encore, mutuellement exclusifs). – A ∪B, r´ ealis´ e si A, ou B, ou (A et B) sont r´ ealis´ es. – A −B, r´ ealis´ e si A est r´ ealis´ e, mais pas B. Op´ erations sur les ´ ev´ enements Soient trois ´ ev´ enements A, B, C : – A = A – A ∪(B ∪C) = (A ∪B) ∪C = A ∪B ∪C – A ∩(B ∩C) = (A ∩B) ∩C = A ∩B ∩C – A ∩(B ∪C) = (A ∩B) ∪(A ∩C) – A ∪(B ∩C) = (A ∪B) ∩(A ∪C) 2CHAPITRE 1. ´ EV´ ENEMENTS ET PROBABILIT´ ES, PROBABILIT´ E CONDITIONNELLE ET IND´ EPENDANCE – A ∪B = A ∩B – A ∩B = A ∪B D´ eﬁnition 1.3 On appelle probabilit´ e une application P de l’ensemble d’´ ev´ enements Ωsur [0, 1] telle que : 1. P(Ω) = 1 2. Pour toute suite {An}n≥1 d’´ ev´ enements de Ωdeux ` a deux incompatibles (i.e. 2 ` a 2 dis- joints : Ai ∩Aj = Ø si i ̸= j), alors : P  [ n≥1 An  = X n≥1 P(An) Consequences : – ∀A de Ω, 0 ≤P(A) ≤1 – Si A ∩B = Ø, alors P(A ∪B) = P(A) + P(B) – Si A1, A2, ..., An sont des ´ ev´ enements ´ el´ ementaires et ∪iAi = ω, alors P(A1) + P(A2) + ... + P(An) = 1 Si tous les ´ ev´ enements ´ el´ ementaires sont ´ equiprobables, c’est-` a-dire, si P(Ak) = 1 n pour k = 1, 2, ..., n, alors, si A est constitu´ e de m ´ ev´ enements ´ el´ ementaires de ce type, P(A) = m n = card(A) card(Ω) On dit que P est la loi uniforme sur Ω. Lorsque l’espace fondamental Ωest ﬁni ou d´ enombrable, d´ eﬁnir la probabilit´ e P sur les ´ ev´ enements Ω´ equivaut ` a se donner la famille {pω}ω∈Ωdes probabilit´ es individuelles, i.e. pω = P({ω}), ω ∈Ω. Soit A ⊂Ω, alors : P(A) = X ω∈A pω. Propri´ et´ es ´ el´ ementaires : 1. P(A ∪B) = P(A) + P(B) −P(A ∩B). Justiﬁcation : A ∪B = (A −B) ∪B = ⇒P(A ∪B) = P(A −B) + P(B), et A = (A −B) ∪(A ∩B) = ⇒P(A) = P(A −B) + P(A ∩B) 2. P(A) = 1 −P(A). Justiﬁcation : Ω= A ∪A = ⇒P(Ω) = P(A) + P(A) = 1. 3. P(Ø) = 0. 4. Si A ⊂B, alors P(A) ≤P(B) (P est une fonction croissante). 5. Si A ⊂B, alors P(B/A) = P(B) −P(A). 1.2 Probabilit´ e conditionnelle Exemple 1.1 Composition d’une famille compos´ ee de 2 enfants Ω= {(G, G) | {z } 1/4 , (G, F) | {z } 1/4 , (F, G) | {z } 1/4 , (F, F) | {z } 1/4 } 4 ´ eventualit´ es suppos´ ees ´ equiprobables. A = “La famille a 2 gar¸ cons”. P(A) = 1/4 B = “La famille a au moins un gar¸ con”. P(B) = 3/4 Supposons que l’on sache que l’´ ev´ enement B est r´ ealis´ e, que devient la probabilit´ e de A ? 1.3. EV´ ENEMENTS IND´ EPENDANTS 3 D´ eﬁnition 1.4 soient A et B deux ´ ev´ enements tel que P(B) ̸= 0. On appelle probabilit´ e conditionnelle de A sachant B la probabilit´ e que A se r´ ealise, sachant que B est d´ ej` a r´ ealis´ e. Dans la mesure o` u nous savons que B est r´ ealis´ e, il devient le nouvel espace d’´ echantillonnage rempla¸ cant Ω, ce qui conduit ` a la d´ eﬁnition suivante : P(A|B) = P(A ∩B) P(B) On peut ´ ecrire ´ egalement : P(B|A) = P(A ∩B) P(A) . On en d´ eduit : P(A ∩B) = P(B)P(A|B) = P(A)P(B|A). Syst` eme complet d’´ ev´ enements : {An}n≥1 forme un syst` eme complet d’´ ev´ enements lorsque {An}n≥1 forme une partition de Ω, i.e. : – ∀n ≥1, An ̸= Ø – ∀i, j ≥1, i ̸= j, Ai ∩Aj = Ø – [ n≥1 An = Ω Th´ eor` eme 1.1 (des probabilit´ es totales) Soit {An}n≥1 un syst` eme complet d’´ ev´ enements. Alors, quelque soit ´ ev´ enement B : P(B) = X n≥1 P(B|An)P(An) Th´ eor` eme 1.2 (de Bayes) Soit {An}n≥1 un syst` eme complet d’´ ev´ enements, et B un ´ ev´ enement tel que P(B) ̸= 0. On a, pour tout i : P(Ai|B) = P(Ai ∩B) P(B) = P(B|Ai)P(Ai) P(B) = P(B|Ai)P(Ai) X n≥1 P(B|An)P(An) 1.3 Ev´ enements ind´ ependants ´ Etant donn´ es deux ´ ev´ enements A et B (avec P(B) > 0), la probabilit´ e conditionnelle P(A|B) apparaˆ ıt comme une ´ evaluation de “voir A se r´ ealiser” compte tenu de l’information “B est quant ` a lui r´ ealis´ e”. Si, au sens du langage courant, on consid` ere que A et B sont “ind´ ependants”, on est raisonnablement amen´ e ` a souhaiter que P(A|B) = P(A). Mais alors, c’est que : P(A ∩B) = P(A) · P(B) D´ eﬁnition 1.5 Deux ´ ev´ enements A et B sont dits ind´ ependants si : P(A ∩B) = P(A) · P(B) 4CHAPITRE 1. ´ EV´ ENEMENTS ET PROBABILIT´ ES, PROBABILIT´ E CONDITIONNELLE ET IND´ EPENDANCE Cons´ equences : – Si A et B sont ind´ ependants, il en est de mˆ eme de A et B ; de A et B ; de A et B. – Tout ´ ev´ enement A est ind´ ependant de l’´ ev´ enement certain Ωet de l’´ ev´ enement impossible Ø. – En g´ en´ eral, on a P(A|B) ̸= P(A) ce qui signiﬁe que “A d´ epend de B”. – Si les ´ ev´ enements A1, A2, ..., Am sont ind´ ependants alors P(A1 ∩A2 ∩... ∩Am) = P(A1)P(A2)...P(Am). (1.1) Si A1, A2, ..., Am sont ind´ ependants alors ils le sont ´ egalement deux ` a deux : P(Aj ∩Ak) = P(Aj)P(Ak) pour j ̸= k o` u j, k = 1, 2, ..., m. Cependant, ni l’une ni l’autre n’est en soi-mˆ eme suﬃsante. La deﬁnition de l’ind´ ependance de A1, ..., Am demande que (1.1) soit v´ eriﬁ´ e aussi avec Ai, i = 1, ..., m remplac´ es par Ac i (il s’agit de 2m relations !). 1.4. EXERCICES 5 1.4 Exercices Exercice 1.1 Soit A et B deux ´ ev´ enements de Ω, P(A)=2/3, P(B) = 1/6, P(A∩B) = 1/9. Que vaut P(A∪B) ? Soit P(A) = 1/3, P(B) = 1/2 et P(A ∪B) = 3/4. Calculez P(A ∩B) et P(Ac ∩Bc). Si P(A) = 0.9, P(B) = 0.8, montrer que P(A ∩B) ≥0.7. Exercice 1.2 Soit D1 et D2 repr´ esentent d´ esastres dont les probabilit´ es sont P(D1) ≤10−6, P(D2) ≤10−9. Que peut-on dire de la probabilit´ e qu’au moins une des d´ esastres ait lieu ? les deux aient lieu ? Exercice 1.3 Un composant ´ electronique sert a d´ eclencher une alarme si une condition extraordinaire se pr´ uploads/s3/ probabilites.pdf