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COURS 13 : MECANISMES PHYSIQUES DE LA DEFORMATION 1 ELASTICITE 1.1 ORIGINE ATOM

COURS 13 : MECANISMES PHYSIQUES DE LA DEFORMATION 1 ELASTICITE 1.1 ORIGINE ATOMIQUE DE L'ELASTICITE Tout objet soumis à un effort se déforme, ce qui entraîne un déplacement des atomes hors de leur position d’équilibre. Apparaissent alors des forces de rappel qui s’opposent à la déformation et qui tendent à restaurer le solide dans sa forme originale lorsque l’on cesse de le solliciter. Différents essais de laboratoire permettent d’étudier les modes de déformation des matériaux (e.g. traction, compression, torsion) d’un point de vue macroscopique et phénoménologique, et de déterminer les contraintes nécessaires pour obtenir une déformation donnée. Quand on analyse la réponse mécanique du matériau, on distingue le domaine d’élasticité et le domaine de plasticité, la transition entre les deux domaines étant nommée "limite d’élasticité". Si l’on effectue une décharge dans le domaine élastique, le comportement est réversible et le matériau recouvre sa forme initiale. A l’inverse, au-delà de la limite d'élasticité, la déformation plastique est irréversible. Pour comprendre ces comportements, on peut étudier les matériaux à l’échelle atomique. Le modèle électrostatique, par exemple, permet de schématiser l’énergie des différentes liaisons entre les atomes sous la forme d’une somme de potentiels attractifs, Ua, et de potentiels répulsifs, Ur, chacun étant décrit par des fonctions puissance de la distance entre atomes r : U(r) = Ua - Ur avec q r p a r B U et r A U = = La force interatomique résultante F (r) peut alors se déduire de la relation classique (Figure 13.1) : r d U d F = La force est nulle à l’équilibre r = r0, et si l’on augmente la distance interatomique, il apparaît une force qui résiste à l'écartement r-r0. Pour de faibles valeurs d’écartement, la force peut être approchée par sa tangente en r = r0 et donc considérée comme proportionnelle à r- r0, en traction comme en compression. On obtient alors un module d’Young E proportionnel à r r r d F d 0 = i.e. r r 2 r d U 2 d 0 = . On peut ainsi estimer les raideurs en fonction des types de liaisons mises en jeu, qu'elles soient covalentes, ioniques, métalliques, Hydrogène ou van der Waals. 1.2 ELASTICITE ENTHALPIQUE ET ELASTICITE ENTROPIQUE Pour distinguer les différents phénomènes intervenant lors de déformations élastiques des solides, il est utile de relier le travail effectué par une force de rétraction élastique aux grandeurs thermodynamiques. Le changement d’énergie interne dU résultant d’une déformation élémentaire dl s’écrit en fonction de la quantité de chaleur absorbée par le système, dq, et du travail effectué, dW : dU = dq – dW Si on se limite au cas de processus réversibles du type de l'élasticité, l’effet thermique dq est relié à la variation d’entropie dS par : Cours 13 Mécanismes physiques de la déformation 2 dq = T dS D'autrepart, le travail effectué par le système, dW, se décompose en deux termes liés au travail de la force de rétraction élastique Fr et au terme de pression P : dW = -Fr dl + P dV On obtient ainsi une décomposition de la variation d’énergie libre dA : dA = d(U – TS) = Fr dl - P dV - S dT d'où : V T, l S T V T, l U V T, l A Fr                   ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ = Ur répulsion Ua attraction U = Ua - Ur 0 r0 r U F = dU/dr r0 0 r rmax Fmax Figure 13.1 : Variations de l'énergie interne U et de la force mutuelle F d'un système de deux atomes en fonction de la distance entre ces atomes Mis à part pour les élastomères, le volume n'augmente que légèrement lors d’une déformation élastique, si bien que l’on peut considérer que cette expression de la force de rétraction reste valable à température donnée. La force de rétraction élastique est donc constituée de deux contributions, d’une part une force de rétraction enthalpique, et d’autre part une force de rétraction entropique. Et l’énergie mécanique apportée au système peut être stockée sous forme d’augmentation de l’énergie interne en modifiant les distances interatomiques ou Cours 13 Mécanismes physiques de la déformation 3 les angles de valence, ou sous forme de chaleur avec une diminution de l’entropie du système i.e. une augmentation de l’ordre. Cette étude thermodynamique amène à considérer deux cas limites : le cristal idéal et l’élastomère. Dans le premier cas, la force de rétraction reste quasi-constante en fonction de la température et a donc une origine enthalpique. Pour ces solides à élasticité enthalpique (métaux, céramiques cristallines, polymères thermodurcis très réticulés), la force de rétraction élastique résulte d’un petit déplacement des atomes hors de leur position d’équilibre. L’énergie de cohésion de ces solides est très élevée, le module d’élasticité est grand et le domaine élastique réversible très limité. La déformation induit une augmentation importante de l’énergie interne et l’entropie n’est pratiquement pas modifiée puisque les atomes s’écartent peu de leur position d’équilibre. Dans le cas des élastomères (les caoutchoucs), la force de rétraction varie significativement avec la température absolue. Ces solides à élasticité entropique sont en fait constitués de longues chaînes macromoléculaires reliées entre elles par des liaisons pontales peu nombreuses. La cohésion entre ces chaînes est donc très faible. Les forces de rétraction sont engendrées par des mouvements browniens et augmentent avec la température. Le module d’élasticité est donc typiquement très faible et la déformabilité est importante. 1.3 ELASTICITE DU CRISTAL PARFAIT ET LIMITE D'ELASTICITE THEORIQUE Comme schématisé à la Figure 13.1, les forces interatomiques retombent typiquement à des valeurs négligeables pour un écartement des atomes de quelques multiples de r0. Le maximum en terme d'effort est atteint pour une distance rmax correspondant à une déformation ε0 avec       = 0 max 0 r r n l ε . Si la force et la contrainte exercées sur le matériau sont telles qu’elles dépassent ce maximum pour chaque liaison, la rupture est inévitable. Nous désignerons par 0 σ cette limite théorique de la contrainte. En première approximation, on peut supposer que la contrainte en fonction de r est modélisée par une fonction sinusoïdale sur l’intervalle de déformation allant de 0 à 0 ε :       = 0 0 ε 2 ε π sin σ σ On obtient alors : 0 ε ε d σ d E = = La déformation critique 0 ε est typiquement de l'ordre de 0,25, ce qui donne : 2π 1 E σ0 ≈ On peut faire des estimations plus précises de ce rapport en prenant des expressions fines des potentiels interatomiques en fonction des types de liaisons, et on obtient typiquement des résultats de l’ordre de 1/20 à 1/10. Quand on détermine expérimentalement, à partir d’essais mécaniques, ce rapport de la limite d’élasticité sur le module d’Young, on trouve que la plupart des céramiques, et certains polymères présentent effectivement un rapport de l’ordre de grandeur des valeurs théoriques, sans jamais bien sûr les dépasser. En revanche, d’autres matériaux tels que les métaux présentent une réponse mécanique telle que ce rapport est beaucoup plus faible que les calculs théoriques : rapport de 1/100, voire 1/100000 pour des métaux sans beaucoup d’éléments d’alliage. A titre d’exemple, pour un acier de limite d’élasticité 420 MPa et de module d’Young 210 GPa, le rapport vaut en effet 1/500. Pourquoi donc ces écarts importants avec les résultats de calculs théoriques ? D’autres mécanismes doivent jouer pour expliquer de telles différences. Cours 13 Mécanismes physiques de la déformation 4 Dans le cadre du cours 1, nous avons vu les arrangements atomiques des matériaux, en particulier celui sous forme de cristaux, et également les défauts dans ces structures qui constituent des maillons faibles. Les dislocations, en particulier, sont des défauts qui permettent la déformation plastique à un niveau de contrainte bien inférieur à la valeur théorique 0 σ . 1.4 FORCE DE RETRACTION ELASTIQUE DES ELASTOMERES Dans les élastomères, les forces de rétraction élastique sont induites par les mouvements browniens qui tendent à rapprocher les extrémités des chaînes moléculaires. Une telle force est d’origine entropique, comme nous l’avons vu. Elle est proportionnelle à la distance entre deux liaisons pontales voisines l, et à la température absolue T : 2 r l l T k 3 F = avec k la constante de Boltzmann et 2 l la distance quadratique moyenne entre les extrémités du chaînon élastique. Pour ces structure en réseaux, la déformation entraîne donc un alignement des chaînes et donc une diminution de l’entropie du système, alors que les distances entre atomes d’une chaîne et les angles de valence ne varient pas. On peut montrer également, à partir de la théorie cinétique des caoutchoucs, que le module d’élasticité est proportionnel au nombre de moles de chaînons n élastiques par unité de volume : E = 3nRT Le module d’élasticité d’un caoutchouc augmente donc proportionnellement à la température absolue. 2. DEFORMATION uploads/s3/161-cours-13.pdf