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Le pendule élastique  Le but : détermination de la raideur « K » d’un ressort

Le pendule élastique  Le but : détermination de la raideur « K » d’un ressort et d’un système de ressort par la méthode dynamique et statique.  préparation de la manipulation : 1. définition de la constante de raideur « K »d’un ressort :  F = 0 P + T = 0  mg – T = 0  mg = T mais T = K l avec : T : force de tension K : constante de raideur L : allongement du ressort mg = T = K l K =( mg /l ) Donc « k » est le rapport entre la tension « T » et l’allongement « l ». La méthode statique : L’expression de la raideur « K » d’un ressort qui remplace deux ressorts de raideurs « K1 »et « K2 » : 1. en série : on a T = T1 = T2 et l = l1 + l2 donc : T1 = mg  K1 l1 = mg  l1 = mg / K1 T2 = mg  K2 l2 = mg  l2 = mg / K2 T = mg  K l = mg  l = mg / K Et d’autre part on a: l = l1 + l2 mg / Ks = (mg / K1) + (mg / K2)  1/ Ks = 1/ K1+1/ K2 d’ou : Ks = (K1* K2)/ (K1 + K2) 2. en parallele : on a l = l1 = l2 et T = T1 + T2 T = KP * l T = K1 * l1 T = K2 * l2 KP*l = (K1*l1) + (K2*l2) On a : l = l1 = l2 KP = K1 + K2 3. K1 = K2 KS = (K1 2/2 K1)= (K1/2)  Kp = 2K1 Kp = 2K1  La méthode dynamique : On tirant la masse m vers le bas avec une distance x : On a : mg + T = 0 On projetons sur l’axe du mouvement : mg - T = 0  mg = K l (au repos ) Au mouvement :  F = m  mg + T = m  mg - T = m T = K (l + x ) (mg )- K (l + x ) = m  mg – K l – Kx = m mais mg - K l =0 donc : -Kx = m  mx’’ + Kx =0 d’ou x’’+(K/m)x =0 c’est une équation différentielle du 2eme degré du style : y = a sin(wt + ) w = 2 / T w = K/m d’ou : K= (m42)/T MANIPULATION:  Méthode statique : 1. un seul ressort : matériel utilisé : un ressort ,un support ,plusieurs masses ,une règle gradué. Etapes de la manipulation : Accrocher l’une des extrémité du ressort à un support et mesurer la longueur l0du ressort à vide puis suspendre une massa « m » qu’on va varié tout le long de la manipulation à l’autre extrémité . On mesure la longueur du ressort et déduire son allongement puis on porte les résultats obtenus sur le tableau : M « g »L0 « m »L « m »x « m »x « m »K« N/M » K« N/M »F=Kx “N” 50 0.24 0.26 0.02 0.004 25 5 0.5 100 0.24 0.275 0.035 0.004 28.57 3.26 0.99 150 0.24 0.295 0.055 0.004 27.27 1.98 1.49 200 0.24 0.31 0.07 0.004 28.57 1.63 1.99 Tableau « a » Méthode d’obtention des résultats du tableau : Exemple : pour la première ligne du tableau : On a : l 0=0.24m ,l =0.26m , l=l-l0= x = 0.26-.024 =0.02m , x=l+l0=0.004m A l’équilibre on a:  F =0 mg +T = 0 on projetant sur l’axe du mouvement : mg = K x  K = mg /x K=10 * 0.05/0.02=25 n/m K :l’incertitude de la constante de raideur K : on a K = mg /x mais mg =cte donc mg=0 K/K=x/x  K=K*x/x  K=25*0.004/0.02=5 n/m la courbe F = f(x) : la courbe est une droite qui passe par le centre 0 d’ou l ‘équation de cette droite est :F=Kx avec K=tg  graphiquement on peut déduire la cte de raideur « K » on a F=Kx mais K= tg  K=1.99-1.7/0.07-0.06 =29 donc : K=29 N/m deux ressort en série : Etapes de la manipulation : Prendre deux ressorts identiques et les associer en sérié puis accrocher l’une des extrémités du système de ressorts à u n support et dans l’autre on lui accroche une masse « m » qu’on varié et on porte les résultats sur le tableau : M « g » L0 « m » L « m » x « m » x « m » Ks N/M »  Ks “N/M” Kst “N/M” 50 0.48 0.52 0.04 0.004 12.5 1.25 12.5 100 0.48 0.555 0.075 0.004 13.33 0.71 14.28 150 0.48 0.59 0.11 0.004 13.63 0.495 13.653 200 0.48 0.625 0.145 0.004 13.79 0.38 14.28 Tableau b Méthode d’obtention des résultats du tableau : KS :est la cte de raideur du ressort équivalant de deux ressorts en série : Ks =mg/x Exemple : pour la première ligne du tableau : X=0.52-0.48=0.04m , m=50g(donné), x =0.004m , Ks=0.05*10/0.04=12.5N/M Ks=Ks x/x=12.5*0.004/0.04=1.25N/M Kst:cte de raideur de deux ressorts en serie: 1/ Kst=1/K1+1/K2Kst=K1*K2/K1+K2 mais K1=K2 donc =12.5*12.5/12.5+12.5 Kst=12.5N/M Comparaison entre Ks et Kst : D’après les résultats du tableau en remarque que Kst et Ks sont presque égaux sauf dans la 1et la 3 case et cela est due à des fautes . deux ressort en parallèle : Etapes de la manipulation : Les mêmes étapes que dans la précédente manipulation sauf que les ressorts sont en parallèle M « g » L0 « m » L « m » x « m » x « m » Kp N/M »  Kp “N/M” Kpt “N/M” 50 0.24 0.255 0.015 0.004 66.66 17.77 50 100 0.24 0.265 0.025 0.004 60 9.6 57.14 150 0.24 0.275 0.035 0.004 57.14 6.53 54.54 200 0.24 0.285 0.045 0.004 55.55 4.93 57.14 Tableau c Méthode d’obtention des résultats du tableau : On utilise la même méthode que la précédente sauf pour : Kpt :cte de raideur des deux ressorts en parallèle. Kpt=K1+K2 mais K1=K2 donc: Kpt=2K1 Comparaison entre Kp et Kpt : On remarque que Kp et Kpt sont presque égaux Donc deux ressorts en parallèle la cte « K » est la même. La methode dynamique : matériels utilisés : ressorts ,support ,barrière infra-rouge , alimentation stabilisée, compteur Etapes de la manipulation : Accrocher l’une des extrémités du ressort à un support et suspendes une masse « m » dans l’ autre puis on tire faiblement sur la masse de sa position d’équilibre et on compte 20 oscillations pour t1,t2,t3 et on complète le tableau : M « g » t1”s” t2 “s” t3 “s” tm T ”s” T2 “s2” T « s » K N/M K N/M 50 5.546 5.483 5.315 5.448 0.2724 0.074 0.088 26.64 1.721 100 7.98 7.596 5.72 7.098 0.3549 0.125 0.92 31.55 1.686 150 9.217 9.212 9.186 9.206 0.4603 0.211 0.01 28.03 1.21 200 10.61 10.58 10.54 10.57 0.5285 0.279 0.026 28.27 1.99 « tm =( t1+t2+t3)/3 T : la période moyenne T =tm/n avec n :le nombre d’oscil 88888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 88888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8888888888888888888888888888888888888888 8888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 14.35 0.89 On obtient ces résultats de même façon que la précédente. Graphiquement on calcul Ks : La courbe est une droite qui passe par le centre 0 son équation T2 = K m avec K=tg On prend deux points du graphe : K=tg(=0.55-0.5/0.2-0.1825=2.85 Ks=4(2/K=13.83 Ks=13.83N/M (T=|tm-t1|+|tm-t2|+|tm-t3|/3 exemple: T1=t1/20 =7.937/20 =0.39s T1=t2/20 =7.86/20 =0.393s T1=t3/20 =7.875/20 =0.39375s (T=|7.89-7.937|+|7.89-7.86|+|7.89-7.875|/3 (T=|-0.047|+|0.03|+|0.015|/3 = 0.030s K= 4 (2 m / T2 (K=2 K (T/T 3. deux ressorts en parallèle : on suit les mêmes étapes que la manipulation précédente et on complète le tableau : M « g » t1”s” t2 “s” t3 “s” tm T ”s” T2 “s2” (T « s » Kp N/M 100 5.377 5.322 5.05 5.4 0.27 0.0729 0.068 54.09 150 6.528 6.43 6.449 6.469 0.32 0.1046 0.039 56.55 200 7.644 7.523 7.102 7.423 0.37 0.1377 0.214 57.28 250 7.133 8.375 8.394 7.96 0.398 0.158 0.559 62.40 Comparaison des résultats entre la méthode statique et la méthode dynamique : On remarque que les résultats sont presque égaux a part quelques variations dues aux calculs uploads/s3/le-pendule-elastique-m4.pdf