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Calculs de primitives et d’intégrales Dans ce chapitre, on aborde exclusivement

Calculs de primitives et d’intégrales Dans ce chapitre, on aborde exclusivement les calculs de primitives ou d’intégrales comme le prévoit le programme oﬃciel. La théorie de l’intégration est repoussée au deuxième semestre. Plan du chapitre 1 Primitives et intégrales : rappels de Terminale et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 2 1.1 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 2 1.2 Formulaires de primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 2 1.3 Intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 6 1.4 Intégrale fonction de la borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 7 2 La formule d’intégration par parties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 9 3 Changements de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 11 3.1 La formule de changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 11 3.2 Quelques applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 13 4 Quelques situations usuelles.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 14 4.1 Primitives de 1 ax2 + bx + c, a ̸= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 14 4.2 Primitives de fonctions transcendantes dont la dérivée est algébrique (ln, Arcsin, Arctan, . . .) . . . . . . . . . . . . page 15 4.3 Produit d’une exponentielle et d’un polynôme .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 15 4.4 Produit d’une exponentielle et d’un sinus ou d’un cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 16 4.5 Polynômes trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 16 4.6 Fractions rationnelles en sin x, cos x et tan x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 17 4.7 Fractions rationnelles en ex, ch x, sh x et th x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 18 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2018. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr 1 Primitives et intégrales : rappels de Terminale et compléments 1.1 Primitives Définition 1. Soit f une fonction déﬁnie sur un intervalle I de R. Une primitive de f sur I est une fonction F dérivable sur I telle que F′ = f. Par exemple, les fonctions F1 : x 7→x2 et F2 : x 7→x2 + 1 sont deux primitives de la fonction f : x 7→2x sur R. On admet pour l’instant le théorème suivant : Théorème 1. Soit f une fonction déﬁnie sur un intervalle I de R, à valeurs dans R (resp. C). 1) Si f est continue sur l’intervalle I, alors f admet au moins une primitive sur I. 2) Si F est une primitive de f sur I, les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme x 7→F(x) + C où C ∈R (resp. C). 3) Pour tout (x0, y0) ∈I × R (resp. I × C), il existe une primitive F de f sur I et une seule telle que F (x0) = y0. ➱Commentaire . Il ne faut pas considérer le 1) comme une anecdote. Il existe des fonctions très simples uploads/S4/ 08-primitives.pdf