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Lycée Paul Rey Denis Augier Chapitre 9 : Intégration. I Intégrale et aire A Int

Lycée Paul Rey Denis Augier Chapitre 9 : Intégration. I Intégrale et aire A Intégrale d’une fonction continue et positive Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle ra; bs. L’intégrale de a à b de la fonction f est l’aire, en unité d’aire, du domaine situé sous la courbe C (c’est-à-dire entre C , l’axe des abscisses et les droites d’équation x “ a et x “ b) . On la note : ż b a fpxq dx Déﬁnition 1 O C 1 u.a. a b 1 1 Pour toute fonction f continue et positive sur ra; bs : ż a a fpxq dx “ 0 Proposition 1 Exercices 1 à 11 page 258 puis 34 à 43 page 260-261 B Cas d’une fonction f continue et négative sur ra; bs aire(Dfq “ ż b a |fpxq| dx “ ´ ż b a fpxq dx Vocabulaire : On dira que ż b a fpxq dx est l’aire algébrique du domaine Df. Elle est positive si f est positive sur ra; bs et négative si f est négative sur ra; bs. O D´f Df C´f Cf a b 1 1 C Cas d’une fonction f continue et de signe quelconque sur ra; bs L’aire de Df est la somme des aires algébriques des domaines déﬁnis par des intervalles sur lesquels f garde un signe constant. Dans l’exemple ci-contre : aire(Df) = ż c a fpxq dx ´ ż b c fpxq dx “ ż b a |fpxq| dx O Cf a c b 1 1 TS 1 2019-2020 1 Lycée Paul Rey Denis Augier D Aire d’un domaine entre deux courbes Si Cf est au-dessus de Cg sur ra; bs, alors l’aire du domaine D délimité par Cf et Cg sur ra; bs est : aire(D) = ż b a pf ´ gqpxq dx O D Cf Cg a b 1 1 II Intégrales et primitives A Théorème fondamental. Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle ra; bs. La fonction F : x ÞÑ ż x a fptq dt est dérivable sur ra; bs et a pour dérivée f. Donc F est la primitive de f qui s’annule en a. Théorème 2 Exercice 1. Déterminer les dérivée des fonctions suivantes : a. F : x ÞÑ ż x 0 t2 ` 1 dt sur R b. G : x ÞÑ ż x 1 lnptq dt sur s0, `8r. c. H : x ÞÑ ż ´x a sinptq dt sur R avec a P R. On remarquera que H est la composée de la fonction J : x ÞÑ ż x a sinptq dt et de la fonction u : x ÞÑ ´x. (On a H “ J ˝ u) d. L : x ÞÑ ż x ´x t2 ` 1 dt sur R. Exercice 2. Soit f : R Ñ R de classe C 1 et F : R˚ Ñ R déﬁnie par @x P R˚, Fpxq “ 1 2x ż x ´x fptqdt a) Montrer que F peut être prolongée par continuité en 0 ; b) Montrer que F est dérivable sur R˚ et que F 1pxq “ 1 2x2 ż x ´x tf 1ptqdt c) Montrer que F est dérivable en 0 et que F 1p0q “ 0. (On pourra utiliser que ż x ´x tfptqdt “ 0.) Exercice 3. Soit f : r0, 1s Ñ R continue et F : r0, 1s Ñ R déﬁnie par @x P r0, 1s, Fpxq “ ż 1 0 minpx, tqfptqdt a) Montrer que F est C 2 et calculer F 2pxq. b) En déduire Fpxq “ ż x 0 ż 1 u fptqdtdu TS 1 2019-2020 2 Lycée Paul Rey Denis Augier B Calcul d’une intégrale Soit f une fonction continue sur ra; bs et F une primitive de f sur ra; bs. On a alors : ż b a fptq dt “ rFptqsb a “ Fpbq ´ Fpaq Proposition 3 Exemple 1. Calculer les intégrales suivantes : • ż 9 4 1 ?x dx • ż π 0 cospxq dx • ż 1 ´1 3x2 ´ 5x ` 1 dx • ż 2 1 6x3 ´ 1 x2 dx Exercices 12,14-17 page 259 C Intégration par partie Soient u et v deux fonctions dérivable sur ra, bs telles que u1 et v1 soient continues sur ra, bs (on parle alors de fonction C 1). On a : ż b a u1ptqvptq dt “ ruptqvptqsb a ´ ż b a u1ptqvptq dt Proposition 4 III Propriétés des intégrales f et g sont des fonctions continues sur un intervalle ra; bs. A Propriétés algébriques ‚ ż b a pf ` gqpxq dx “ ż b a fpxq dx ` ż b a gpxq dx ‚ Pour tout nombre rél λ, ż b a λfpxq dx “ λ ż b a fpxq dx Proposition 5 (Linéarité de l’intégration) Exemple 2. Soit A “ ż π 2 0 cos2 x dx et B “ ż π 2 0 sin2 x dx. Calculons A ` B et A ´ B pour en déduire la valeur de A et B. Pour tout nombre réel c, de ra; bs, ż c a fpxq dx ` ż b c fpxq dx “ ż b a fpxq dx Proposition 6 (Relation de Chasles) TS 1 2019-2020 3 Lycée Paul Rey Denis Augier B Intégrales et inégalités ‚ Si, pour tout nombre réel x de ra; bs, fpxq ě 0, alors ż b a fpxq dx ě 0. ‚ Si, pour tout nombre réel x de ra; bs, fpxq ď 0, alors ż b a fpxq dx ď 0. Proposition 7 (Positivité) Si, pour tout nombre réel x de ra; bs, gpxq ď fpxq, alors ż b a fpxq dx ď ż b a gpxq dx. Proposition 8 (Ordre) C Valeur moyenne La valeur moyenne d’une fonction f sur un intervalle ra; bs (avec a ă b) est le nombre réel µ déﬁni par µ “ 1 b ´ a ż b a fpxq dx Déﬁnition 2 Interprétation graphique : cas où f est positive sur ra; bs Dans un repère orthogonal, C est la courbe représentative de la fonction f. On a : ż b a fpxq dx “ µpb ´ aq Donc l’aire du domaine situé sous la courbe C est égale à l’aire du rectangle de dimensions µ et pb ´ aq O C a b 1 1 µ Exemple 3. La valeur moyenne de la fonction cosinus sur l’intervalle ” 0; π 2 ı Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soit a et b deux nombres de I tels que a ă b. Si m et M sont deux nombres tels que pour tout x de ra; bs, m ď fpxq ď M alors : mpb ´ aq ď ż b a fpxq dx ď Mpb ´ aq On a alors un encadrement de la valeur moyenne de f sur ra; bs soit : Théorème 9 (Inégalité de la moyenne) Interprétation graphique : cas où f est positive sur ra; bs Si f est bornée sur ra; bs par deux constantes m et M positives, alors l’inégalité de la moyenne signiﬁe que l’aire sous la courbe C sur ra; bs est comprise entre les aires des rectangles de dimensions pb ´ aq et respectivement m et M. O C a b 1 1 m M Exemple 4. Trouver un encadrement de la valeur moyenne sur r1, 2s de la fonction : f : s0, `8r Ñ R x ÞÑ 3 ln2 x ` 2 TS 1 2019-2020 4 uploads/S4/ chap-13-integration.pdf