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jean-philippe muller version juillet 2002 Asservissements linéaires jean-philip

jean-philippe muller version juillet 2002 Asservissements linéaires jean-philippe muller Sommaire Présentation générale 1) Les systèmes commandés et leurs défauts 2) Structure d’un système asservi 3) Qualités demandées à un SA 4) Linéarité d’un système 5) Formule de Black 6) Etude expérimentale des SA Asservissement de position 7) Structure de l’asservissement de position 8) Principe et équations du moteur 9) Transmittance du moteur 10) Schéma fonctionnel de l’asservissement 11) Annexe : inertie de la charge et réducteur 12) Annexe : les capteurs de position potentiomètriques 13) Annexe : les capteurs de position inductifs 14) Annexe : les codeurs optiques absolus 15) Annexe : les codeurs optiques incrémentaux Régulation de vitesse 16) Structure de l’asservissement de vitesse 17) Transmittance de l’asservissement 18) Annexe : les capteurs de vitesse électromagnétiques 19) Annexe : les capteurs de vitesse à réluctance variable 20) Annexe : les capteurs de vitesse optiques Stabilité d’un système asservi 21) Stabilité d’un système linéaire 22) Critère de stabilité de Routh 23) Condition graphique d’oscillation d’un système bouclé 24) Critère de stabilité de Nyquist 25) Marge de phase d’un système bouclé 26) Stabilité « satisfaisante » d’un système en boucle fermée 27) Méthode pratique de réglage du gain Précision d’un système asservi 28) Le test de la précision de l’asservissement 29) Calcul de l’erreur ε ε ε ε pour une entrée donnée 30) Influence de la classe d’un système sur sa précision Correction d’un système asservi 31) Principes généraux de correction 32) Le correcteur proportionnel-intégral 33) Le correcteur à retard de phase 34) Le correcteur proportionnel-dérivé 35) Le correcteur à avance de phase 36) Le correcteur universel PID 37) Réglage du PID par la méthode de Ziegler&Nichols Systèmes asservis linéaires : introduction jean-philippe muller 1) Les systèmes commandés et leurs défauts : Un système physique est dit commandé si la grandeur de sortie y(t) est fonction de l’entrée x(t). Prenons l’exemple du chauffage électrique d’une pièce la grandeur d’entrée est la position du thermostat (consigne de température) la grandeur de sortie est la température réelle de la pièce Le système commandé est en général un organe de puissance ( dispositif de chauffage, moteur, vérin …) et le signal de commande est la plupart du temps une tension de valeur assez faible (quelques volts). On demande à un système commandé deux qualités : la sensibilité et la fidélité. sensibilité : pour une faible variation de x , on désire obtenir une forte variation de y. Pour cela il suffit d’augmenter le gain du système fidélité : pour une même valeur de x, on aimerait toujours obtenir la même valeur de y. Ceci est impossible en raison des perturbations extérieures qui affectent le système. Par exemple, dans le cas du chauffage d’une pièce, lorsqu’une personne entre dans la pièce, l’ouverture de la porte provoque en général une diminution de la température ambiante : on est en présence d’une perturbation du système commandé. Si X(p) et Y(p)sont les transformées de Laplace de x(t) et y(t), on définit la fonction de transfert ou transmittance du système : ) ( ) ( ) ( p X p Y p H = La perturbation fait que, pour une entrée x donnée, la sortie y fluctue. Cela revient à dire que les perturbations font varier la transmittance H(p) du système. A cause des perturbations, on voit donc qu’il est impossible d’avoir en permanence en sortie d’un système commandé la valeur désirée Yo de Y correspondant à l’application à l’entrée de Xo = Yo / H. Pour obtenir effectivement Yo, il y a lieu de modifier l’entrée X en permanence pour tenir compte des perturbations. C’est ce que fait automatiquement un système asservi. Système physique Entrée x(t) Sortie y(t) Radiateur Entrée x(t) Sortie y(t) Pièce à chauffer Figure 1. Le système commandé. Figure 2. Exemple d’un système de chauffage. Systèmes asservis linéaires : introduction jean-philippe muller 2) Structure d’un système asservi : Un système asservi est un système commandé possédant les deux caractéristiques suivantes : • bonne sensibilité et donc amplification de puissance • dispositif de retour garantissant la fidélité Par exemple, dans le cas d’une régulation du chauffage électrique d’une pièce, la température ambiante T est asservie à la température désirée Te. Si pour une raison quelconque (ouverture de la porte par exemple) la température ambiante venait à baisser, cela modifierait immédiatement le signal d’erreur en sortie du comparateur, entraînant une augmentation de la puissance de chauffe. Dans la pratique, on ne compare pas directement la grandeur désirée à la grandeur de sortie, mais les tensions représentant ces deux grandeurs. L’organisation générale d’un système asservi est donc la suivante : • la chaîne d’action : c’est le système commandé qui possède une grande sensibilité mais est soumis à l’influence des perturbations et manque donc de fidélité. Sa transmittance est souvent notée H(p). • la chaîne de retour : elle convertit la grandeur de sortie (température dans notre exemple) en une tension qui est le signal de retour xr . Elle est construite autour d’un capteur qui doit être fidèle (insensible aux perturbations) et dont la présence ne doit pas modifier la sortie. • l’organe d’affichage : il transforme la valeur désirée Ye de y (ici la température désirée Te), appelée aussi consigne, en tension x le comparateur : il élabore en permanence le signal d’erreur e = x - xr Au lieu de comparer les températures, l’asservissement compare les tensions x et xr. Pour que cela soit possible, il faut qu’à une température donnée corresponde une tension donnée : le dispositif d’affichage et le capteur ont donc la même transmittance. On aura donc : x = K.Te et xr = K.T Si l’asservissement fonctionne parfaitement, on aura : T = Te et donc x = xr et e=0. On peut classer les systèmes asservis en 2 grandes familles : • les régulations : yd est constante ou varie par paliers (alimentation stabilisée, régulation de vitesse, de température … • les asservissements : yd varie continûment (table traçante, boucle à verrouillage de phase…) Température de consigne Te x : tension image de Te Dispositif d’affichage Dispositif de chauffage Capteur de température température réelle T xr : tension image de T e: signal d’erreur Figure 3. Structure générale d’un système de régulation de température. Systèmes asservis linéaires : introduction jean-philippe muller 3) Qualités demandées à un système asservi : Les performances qu’on demande à un système asservi dépendent de la phase de fonctionnement : • en régime permanent (ou établi), on demande au SA d’être précis. En pratique, cette précision n’est jamais absolue et on la caractérise par l’erreur : ε ε ε ε = ye - y • en régime transitoire, on demande au SA d’être rapide, c’est-à-dire de passer le plus rapidement possible d’un régime permanent à l’autre. En pratique, on caractérise un SA par son temps de réponse tr5% à 95% de la valeur finale. Un bon système asservi sera donc caractérisé par : • une erreur très faible, et si possible nulle ( y très voisin ou égal à yd ) en régime permanent • un temps de réponse tr5% le plus court possible en régime transitoire Malheureusement, on verra que dans la pratique ces deux exigences sont souvent contradictoires et il faudra se satisfaire d’un compromis. Ces deux qualités s’évaluent en général en appliquant au système une entrée de forme particulière : l’échelon. Voici quelques exemples de réponses de systèmes asservis mal ou bien réglés. Figure 4. Allure générale de la réponse d’un système. Figure 5. Exemples de réponses de systèmes asservis. Dépassement : HMo MoM d = Systèmes asservis linéaires : introduction jean-philippe muller 4) Linéarité d’un système : En général, les dispositifs physiques réels ne possèdent pas des caractéristiques statiques linéaires dans un grand domaine de variation de la grandeur de sortie. En effet : • les amplis finissent toujours par saturer • pour un moteur, la vitesse n’est pas rigoureusement proportionnelle à la tension • les oscillateurs commandés en tension ont rarement une caractéristique linéaire etc … Cependant, l’étude des systèmes asservis non linéaires est si délicate que l’on essaie d’abord de se ramener au cas d’un système asservi linéaire. Pour cela 2 solutions : • remplacer les caractéristiques non linéaires par des droites (on dit qu’on linéarise) • se placer en un point de repos Po et étudier l’asservissement autour de ce point L’exemple ci-dessous montre la caractéristique de transfert statique de l’ensemble amplificateur-moteur- génératrice tachymétrique d’un asservissements de position. Le relevé met en évidence plusieurs non-linéarités : autour du « zéro » à cause du seuil de démarrage du moteur dans les zones intermédiaires à cause des frottements aux extrémités à cause de la saturation de l’amplificateur On linéarisera le système en remplaçant cette caractéristique par une droite qui sera appelée caractéristique idéalisée. Dans ce cas et pour ce qui concerne le régime transitoire, les grandeurs d’entrée et de sortie sont reliées par une équation différentielle linéaire, ce qui veut dire qu’on peut définir la transmittance de Laplace du système. Entrée e(t) uploads/S4/ asservissement.pdf