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GÉOMÉTRIE DANS LE PLAN Sommaire I Les droites remarquables du triangle . . . .

GÉOMÉTRIE DANS LE PLAN Sommaire I Les droites remarquables du triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.1 Les médiatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.2 Les médianes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.3 Les hauteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.4 Les bissectrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 II Les théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 II.1 Le théorème de Pythagore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 II.2 Le théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 II.3 Le théorème de l’angle inscrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 III La trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 IV Les transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 IV.1 La symétrie axiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 IV.2 La symétrie centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 V Les quadrilatères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 I Les droites remarquables du triangle I.1 Les médiatrices Déﬁnition 1 . La médiatrice d’un segment est la droite qui passe perpendiculairement par son milieu. Remarque . C’est aussi l’ensemble des points du plan équidistants des extrémités du segment. Propriété 1 . ¶ Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes. ¶ L’intersection des médiatrices est le centre du cercle circonscrit. ¶ Le cercle circonscrit à un triangle est celui qui passe par ses trois sommets. A B C O 2nde GÉOMÉTRIE DANS LE PLAN Cours I.2 Les médianes Déﬁnition 2 . La médiane est la droite passant par un sommet et par le milieu de son côté opposé. Propriété 2 . ¶ Les trois médianes d’un triangle sont concourantes. ¶ L’intersection des médianes est le centre de gravité. ¶ Le centre de gravité se situe au deux-tiers des médiane. A B C / / I / / / / G I.3 Les hauteurs Déﬁnition 3 . La hauteur d’un triangle est la droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire à son côté opposé. Propriété 3 . ¶ Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes. ¶ L’intersection des hauteurs est l’orthocentre. A B C H I.4 Les bissectrices Déﬁnition 4 . La bissectrice d’un angle est son axe de symétrie. C’est une droite qui coupe l’angle en deux angles de même mesure. Propriété 4 . ¶ Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes. ¶ L’intersection des bissectrices est le centre du cercle inscrit. Lycée Henri Meck, Molsheim. MF -2- Dernière modiﬁcation le 29 août 2011 2nde GÉOMÉTRIE DANS LE PLAN Cours A B C I II Les théorèmes II.1 Le théorème de Pythagore Théorème 1 Théorème de Pythagore, admis . Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l’angle droit. A B C Si ABC est rectangle en A alors BC2 = AB2 +AC2. Utilisation : Calculer la longueur d’un côté dans un triangle rectangle connaissant les longueurs des deux autres côtés. Théorème 2 Réciproque du théorème de Pythagore, admise . Si le carré du plus grand côté d’un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle. A B C Si BC2 = AB2 +AC2 alors ABC est rectangle en A. Utilisation : Démontrer qu’un triangle est rectangle. II.2 Le théorème de Thalès Théorème 3 Théorème de Thalès, admis . Si deux triangles ont un sommet commun et des côtés appartenant à la même droite ou parallèles, alors les mesures des côtés des deux triangles sont proportionnelles. Lycée Henri Meck, Molsheim. MF -3- Dernière modiﬁcation le 29 août 2011 2nde GÉOMÉTRIE DANS LE PLAN Cours O A B M N Si les droites (AM) et (BN) sont sécantes en O et si les droites (MN) et (AB) sont parallèles alors ON OB = ON OB = MN AB Utilisation : Calculer une longueur. Théorème 4 Réciproque du théorème de Thalès, admise . Si deux triangles ont un sommet commun, deux côtés deux à deux appartenant à la même droite et de longueur proportionnelles , alors les deux autres côtés sont parallèles. O A B M N Si OM OA = ON OB et si les points O, A, M et les points O, B, N uploads/S4/ cours-geometriedansleplan.pdf