Baccalaur´ eat S Liban 28 mai 2013 Exercice 1 4 points Commun ` a tous les cand

Baccalaur´ eat S Liban 28 mai 2013 Exercice 1 4 points Commun ` a tous les candidats Cet exercice est un questionnaire ` a choix multiples. Aucune justification n’est demand´ ee. Pour chacune des questions, une seule des propositions est correcte. Chaque r´ eponse correcte rapporte un point. Une r´ eponse erron´ ee ou une absence de r´ eponse n’ˆ ote pas de point. On notera sur la copie le num´ ero de la question, suivi de la lettre correspondant ` a la proposition choisie. L’espace est rapport´ e ` a un rep` ere orthonorm´ e  O;⃗ i,⃗ k  . Les points A, B, C et D ont pour coordonn´ ees respectives A(1 ; −1 ; 2), B(3 ; 3 ; 8), C(−3 ; 5 ; 4) et D(1 ; 2 ; 3). On note D la droite ayant pour repr´ esentation param´ etrique    x = t + 1 y = 2t −1 z = 3t + 2 , t ∈I R et D′ la droite ayant pour repr´ esentation param´ etrique    x = k + 1 y = k + 3 z = −k + 4 , k ∈I R. On note P le plan d’´ equation x + y −z + 2 = 0. Question 1 : Proposition a. Les droites D et D′ sont parall` eles. Proposition b. Les droites D et D′ sont coplanaires. Proposition c. Le point C appartient ` a la droite D. Proposition d. Les droites D et D′ sont orthogonales. Question 2 : Proposition a. Le plan P contient la droite D et est parall` ele ` a la droite D′. Proposition b. Le plan P contient la droite D′ et est parall` ele ` a la droite D. Proposition c. Le plan P contient la droite D et est orthogonal ` a la droite D′. Proposition d. Le plan P contient les droites D et D′. Question 3 : Proposition a. Les points A, D et C sont align´ es. Proposition b. Le triangle ABC est rectangle en A. Proposition c. Le triangle ABC est ´ equilat´ eral. Proposition d. Le point D est le milieu du segment [AB]. Question 4 : On note P′ le plan contenant la droite D′ et le point A. Un vecteur normal ` a ce plan est : Proposition a. ⃗ n(−1 ; 5 ; 4) Proposition b. ⃗ n(3 ; −1 ; 2) Proposition c. ⃗ n(1 ; 2 ; 3) Proposition d. ⃗ n(1 ; 1 ; −1) Y. Morel xymaths.free.fr/Lycee/TS/ Baccalaur´ eat S Liban 28 mai 2013 - 1/6 Exercice 2 5 points Commun ` a tous les candidats L’entreprise Fructidoux fabrique des compotes qu’elle conditionne en petits pots de 50 grammes. Elle souhaite leur attribuer la d´ enomination « compote all´ eg´ ee ». La l´ egislation impose alors que la teneur en sucre, c’est-` a-dire la proportion de sucre dans la compote, soit comprise entre 0,16 et 0,18. On dit dans ce cas que le petit pot de compote est conforme. L’entreprise poss` ede deux chaˆ ınes de fabrication F1 et F2. Les parties A et B peuvent ˆ etre trait´ ees ind´ ependamment Partie A La chaˆ ıne de production F2 semble plus fiable que la chaˆ ıne de production F1. Elle est cependant moins rapide. Ainsi, dans la production totale, 70 % des petits pots proviennent de la chaˆ ıne F1 et 30 % de la chaˆ ıne F2. La chaˆ ıne F1 produit 5 % de compotes non conformes et la chaˆ ıne F2 en produit 1 %. On pr´ el` eve au hasard un petit pot dans la production totale. On consid` ere les ´ ev` enements : E : « Le petit pot provient de la chaˆ ıne F2 » C : « Le petit pot est conforme. » 1. Construire un arbre pond´ er´ e sur lequel on indiquera les donn´ ees qui pr´ ec` edent. 2. Calculer la probabilit´ e de l’´ ev` enement : « Le petit pot est conforme et provient de la chaˆ ıne de production F1. » 3. D´ eterminer la probabilit´ e de l’´ ev` enement C. 4. D´ eterminer, ` a 10−3 pr` es, la probabilit´ e de l’´ ev` enement E sachant que l’´ ev` enement C est r´ ealis´ e. Partie B 1. On note X la variable al´ eatoire qui, ` a un petit pot pris au hasard dans la production de la chaˆ ıne F1, associe sa teneur en sucre. On suppose que X suit la loi normale d’esp´ erance m1 = 0, 17 et d’´ ecart-type σ1 = 0, 006. Dans la suite, on pourra utiliser le tableau ci-dessous. α β P(α ⩽X ⩽β) 0,13 0,15 0,0004 0,14 0,16 0,0478 0,15 0,17 0,4996 0,16 0,18 0,9044 0,17 0,19 0,4996 0,18 0,20 0,0478 0,19 0,21 0,0004 Donner une valeur approch´ ee ` a 10−4 pr` es de la probabilit´ e qu’un petit pot pr´ elev´ e au hasard dans la production de la chaˆ ıne F1 soit conforme. 2. On note Y la variable al´ eatoire qui, ` a un petit pot pris au hasard dans la production de la chaˆ ıne F2, associe sa teneur en sucre. On suppose que Y suit la loi normale d’esp´ erance m2 = 0, 17 et d’´ ecart-type σ2. Y. Morel xymaths.free.fr/Lycee/TS/ Baccalaur´ eat S Liban 28 mai 2013 - 2/6 On suppose de plus que la probabilit´ e qu’un petit pot pr´ elev´ e au hasard dans la production de la chaˆ ıne F2 soit conforme est ´ egale ` a 0, 99. Soit Z la variable al´ eatoire d´ efinie par Z = Y −m2 σ2 . (a) Quelle loi la variable al´ eatoire Z suit-elle ? (b) D´ eterminer, en fonction de σ2 l’intervalle auquel appartient Z lorsque Y appartient ` a l’intervalle [0,16 ; 0,18]. (c) En d´ eduire une valeur approch´ ee ` a 10−3 pr` es de σ2. On pourra utiliser le tableau donn´ e ci-dessous, dans lequel la variable al´ eatoire Z suit la loi normale d’esp´ erance 0 et d’´ ecart-type 1. β P(−β ⩽Z ⩽β) 2,4324 0,985 2,4573 0,986 2,4838 0,987 2,5121 0,988 2,5427 0,989 2,5758 0,990 2,6121 0,991 2,6521 0,992 2,6968 0,993 Exercice 3 6 points Commun ` a tous les candidats ´ Etant donn´ e un nombre r´ eel k, on consid` ere la fonction fk d´ efinie sur I R par fk(x) = 1 1 + e−kx. Le plan est muni d’un rep` ere orthonorm´ e  O;⃗ i,⃗ k  . Partie A Dans cette partie on choisit k = 1. On a donc, pour tout r´ eel x, f1(x) = 1 1 + e−x. La repr´ esentation graphique C1 de la fonction f1 dans le rep` ere  O;⃗ i,⃗ k  est donn´ ee en ANNEXE, ` a rendre avec la copie. 1. D´ eterminer les limites de f1(x) en +∞et en −∞et interpr´ eter graphiquement les r´ esultats obtenus. 2. D´ emontrer que, pour tout r´ eel x, f1(x) = ex 1 + ex. 3. On appelle f ′ 1 la fonction d´ eriv´ ee de f1 sur I R. Calculer, pour tout r´ eel x, f ′ 1(x). En d´ eduire les variations de la fonction f1 sur I R. 4. On d´ efinit le nombre I = Z 1 0 f1(x) dx. Montrer que I = ln 1 + e 2  . Donner une interpr´ etation graphique de I. Y. Morel xymaths.free.fr/Lycee/TS/ Baccalaur´ eat S Liban 28 mai 2013 - 3/6 Partie B Dans cette partie, on choisit k = −1 et on souhaite tracer la courbe C−1 repr´ esentant la fonc- tion f−1. Pour tout r´ eel x, on appelle P le point de C1 d’abscisse x et M le point de C−1 d’abscisse x. On note K le milieu du segment [MP]. 1. Montrer que, pour tout r´ eel x, f1(x) + f−1(x) = 1. 2. En d´ eduire que le point K appartient ` a la droite d’´ equation y = 1 2. 3. Tracer la courbe C−1 sur l’ANNEXE, ` a rendre avec la copie. 4. En d´ eduire l’aire, en unit´ es d’aire, du domaine d´ elimit´ e par les courbes C1, C−1 l’axe des or- donn´ ees et la droite d’´ equation x = 1. Partie C Dans cette partie, on ne privil´ egie pas de valeur particuli` ere du param` etre k. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la r´ eponse. 1. Quelle que soit la valeur du nombre r´ eel k, la repr´ esentation graphique de la fonction fk est strictement comprise entre les droites d’´ equations y = 0 et y = 1. 2. Quelle que soit la valeur du r´ eel k, la fonction fk est strictement croissante. 3. Pour tout r´ eel k ⩾10, fk 1 2  ⩾0, 99. Exercice 4 5 points Candidats N’AYANT PAS SUIVI l’enseignement de uploads/S4/ devoir-bacs-liban-28-mai-2013.pdf

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  • Publié le Jan 10, 2021
  • Catégorie Law / Droit
  • Langue French
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