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MINESEC Année scolaire : 2010-2011 Lycée de Japoma Classe : 2ndeC Durée : 2 heu

MINESEC Année scolaire : 2010-2011 Lycée de Japoma Classe : 2ndeC Durée : 2 heures Département de Mathématiques Séquence 2 Novembre 2010 www.easy-maths.org Coef : 06 Épreuve de Mathématiques Le correcteur tiendra compte de la rigueur dans la rédaction et de la clarté de la copie. Il est demandé à l’élève de justiﬁer toutes ses afﬁrmations. EXERCICE 1 4 points 1. a. Démontrer par l’absurde que p 5 est un nombre irrationnel. [0,5pt] b. En déduire que 2+ p 5 est irrationnel. [1pt] 2. Déterminer E(−4,7), E(4,7) et E(103π) où E(x) désigne la partie entière de x. [1,5pt] 3. x et y sont des nombres réels tels que ¯ ¯−3x + 1 2 ¯ ¯ < 3 2 et |−y +2| ≥1. Donner un encadrement de x et un encadrement de y. [1pt] EXERCICE 2 4 points Soit l’application f : [10;20] →R déﬁnie par f (x) = −2x +10 et g l’application afﬁne déﬁnie par g(x) = −2x +10. 1. Déterminer l’ensemble de déﬁnition D f de f , puis justiﬁer que f n’est pas une application af- ﬁne. [1pt] 2. Déterminer Dg, puis D f ∩Dg. [1pt] 3. a. Montrer que f = g sur un ensemble que l’on précisera. [0,5pt] b. Soit x, y ∈R tels que x ̸= y. Calculer g(x)−g(y) x−y et en déduire le sens de variation de g. [1pt] c. Déduire le sens de variation de f sur D f . [0,5pt] EXERCICE 3 7 points Soit (C) et (C ′) deux cercles de même rayon, sécants en A et B. Une droite (D), passant par A, recoupe (C) en E et (C ′) en E′. La droite symétrique de (D) par rapport à (AB) coupe (C) en F et (C ′) en F ′. b O b O′ b A b B b E b E′ b F b F ′ 1 sujetexa.com 1. Quelle relation doit-on avoir sur les angles EFE′, FEF ′, EF ′E′ et F ′E′F pour que le quadrilatère EFE′F ′ soit inscriptible ? [1pt] 2. Montrer que mes E′AF ′ = mes E AF et en déduire que mes EE′F = mes E′FF ′. [1,5pt] 3. Montrer que mes EOA = mes AO′F ′ et en déduire que mes EF A = mes AE′F ′. [1,5pt] 4. Déduire des questions 2. et 3. que mes EFE′ = mes FE′F ′. [1pt] 5. Montrer que mes FEF ′ = mes EF ′E′. [1pt] 6. Montrer que le quadrilatère EFE′F ′ est inscriptible. [1pt] EXERCICE 4 5 points On considère une fonction f dont la courbe représentative est donnée par le graphique ci-contre. 1. Déterminer l’ensemble de déﬁni- tion de la fonction f . [0,5pt] 2. Déterminer les images des nombres réels suivants : −4, −3, −1, 0, 1. [1pt] 3. Déterminer les antécédants de chacun des nombres suivants : 6, 0, −6. [1pt] 4. Déterminer les images directes des intervalles [−4,0] et [−3;−1]. [1pt] 5. Déterminer les images réci- proques des intervalles [1;5], [−3;1] et [5;6]. [1,5pt] 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 1 2 3 -1 -2 -3 -4 -5 0 ⃗ i ⃗ j 2 sujetexa.com uploads/S4/ epreuve-de-mathematiques.pdf