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TD RDM FORMULES DE BRESSE : CORRECTION EXERCICES R25-R30 2° ANNEE Exercice FB-0

TD RDM FORMULES DE BRESSE : CORRECTION EXERCICES R25-R30 2° ANNEE Exercice FB-01 VO p V1 1°/ Statique V0 = V1 = Pa/2 (symétrie) 0 ≤ x < b=(l-a)/2 b ≤ x < l-b Mz = -V0.x = -Pa/2.x Mz = -Pa/2.x + P(x-b)2/2 8 ) a 2 ( Pa ) 2 / ( M M z max z − = = l l 2°/ 2ème Formule de Bresse ∫ − − − ω + = A x 0 x A 0 A 0 0 A dx ) x x ( EI M ) x x ( v v D’après la symétrie ωA = 0 = ∫ = = − ω 2 / A x 0 0 x 0 dx EI M l v0 = 0 x0 = 0 ∫ ∫ + − ω = 2 / 0 2 / O x 0 A A dx x . EI M ) dx EI M ( x v l l ∫ ∫ − − + − + − = 2 / b 2 2 b 0 2 A dx ) 2 a x .( 2 Px x . 2 Pa dx x . 2 Pa EIv l l ( ) 3 2 3 A a a 4 8 EI 384 Pa v + − − = l l Exercice FB-02 F M0 V0 F 1°/ Statique V0 = 2F M0 = 3Fl 0 ≤ x < l l ≤ x < 2l Mz = -M(Droite) Mz = -M(Droite) = -[- F(l-x) - F(2l-x)] = -[- F(2l-x)] = F(3l-2x)] = F(2l-x)] I = ( ) π π 2 4 16 4 4 4 R R = = 16 i i = π.R4 4 2ème Formule de Bresse : ∫ = = − − − ω + = l B x 0 A x B A B A A B dx ) x x ( EI M ) x x ( v v xA = 0 uA = vA = 0 ωA = 0 (encastrement) ∫ − − = l l 0 B dx ) x ( EI M v ∫ − − − = l l l 0 dx ) x ).( x 2 3 ( EI F Ei F 96 7 EI F 6 7 3 3 l l − = − = Ei F 96 7 v f 3 B B l = = ∫ = = − − − ω + = l 2 C x 0 A x C A C A A C dx ) x x ( ) x ( EI ) x ( M ) x x ( v v ∫ ∫ − − − − = l l l l l 2 0 dx ) x 2 ( Ei M dx ) x 2 ( EI M ∫ ∫ − − − − − = l l l l l l 2 2 0 C dx ) x 2 ( Ei F dx ) x 2 )( x 2 3 ( EI F v B 3 v 7 51 Ei F 96 51 = − = l B 3 C C f 7 51 Ei F 96 51 v f = = = l 2°/ Application Numérique : 4 20 . 10 . 2 500 . 3000 96 7 f 4 5 3 B π = ≈ 1.09 mm B C f 7 51 f = ≈ 7.93 mm Contrainte normale maximale soit en A, soit en B : en A, MA = 3Fl R . i 8 F 3 R 2 . i 16 F 3 A l l = = σ en B, MB = Fl R . i F B l = σ 3 max 20 . 500 . 3000 . 4 R . i F π = = σ l ≈ 239 MPa (plus le problème de concentration de contraintes à l’épaulement en B). Exercice FB-03 1°/ Statique V0 = V3 = F/2 (symétrie) H0 + H3 = 0 hyperstatique de degré 1 1ère Formule de Bresse entre G0 et G3 ∫ − + − ω − = 3 G 0 G 3 0 3 0 0 3 ds ) y y ( ) s ( EI ) s ( M ) y y ( u u ) u3 = u0 = 0 y3 = y0 = 0 ∫ ∫ = = → A 0 G 3 G 0 G yds ) s ( EI ) s ( M . 2 0 yds ) s ( EI ) s ( M ) ) Ou bien, d’après la symétrie : 0 ds ) y y ( ) s ( EI ) s ( M ) y y ( u u A 0 G A 0 A 0 0 A = − + − ω − = ∫ ) avec 0 ds ) s ( EI ) s ( M A 0 G 0 A = − ω = ω ∫ ) ∫ ∫ ∫ = + = → h 0 2 / 0 A 0 G 0 hdx Ei M ydy EI M yds ) s ( EI ) s ( M l ) Poutres 1/3 TD RDM FORMULES DE BRESSE : CORRECTION EXERCICES R25-R30 2° ANNEE F V0 V3 H0 H3 Sur le poteau, pour y ∈ [0, h], M(y)=H0.y EI 3 h H dy 3 0 = y EI H ydy EI M h 0 2 0 h 0 ∫ ∫ = Sur la traverse, pour x ∈ [0, l/2], M(x)=H0.h - V0.x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − =∫ ∫ 2 h H 16 F Ei h dx h H x 2 F Ei h hdx Ei M 0 2 2 / 0 0 2 / 0 l l l l 0 2 h H 16 F Ei h EI 3 h H 0 2 3 0 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + l l ) hi I 3 2 ( ih I F . 8 3 H 2 2 0 l l + = avec k=ih/Il 3 H − = 0 3 k 2 F . h 8 3 H + = l 2°/ Flèche en A : 2ème Formule de Bresse ∫ − − − ω + = A 0 G A 0 A 0 0 A ds ) x x ( ) s ( EI ) s ( M ) x x ( v v ) avec 0 ds ) s ( EI ) s ( M A 0 G 0 A = − ω = ω ∫ ) (symétrie) v0 = 0, x0 = 0, xA = l/2 ∫ = A 0 G A xds ) s ( EI ) s ( M v ) 3 k 2 3 k 8 Ei 192 F 8 h H 48 F Ei 1 dx hx H x 2 F Ei 1 v 3 2 0 3 2 / 0 0 2 A + + − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = ∫ l l l l (x=0 sur le poteau) Exercice FB - 04 F V0 H0 VA M0 θ O 1°/ Statique : V0 + VA = F H0 = 0 M0 + VA.R = 2F.R hyperstatique de degré 1 M0 = (V0 + F).R 2ème Formule de Bresse entre G0 et A : 0 ds ) x x ( ) s ( EI ) s ( M ) x x ( v v A 0 G A 0 A 0 0 A = − − − ω + = ∫ v avec v0 = 0, ω0 = 0, x0 = 0, xA = R, s = Rdθ,x = R.(1-cosθ) ∏ 0 d cos M 2 / 0 = θ θ ∫ π Pour θ∈[0,π/2], M(s)= M0 - V0R.(1-cosθ) = F R+ V0Rcosθ Pour θ∈[π/2,π], M(s)= -M(droite) = FR(1 + cosθ) ) V 4 F ( R 0 d cos ) cos R V FR ( 0 2 / 0 0 π + = = θ θ θ + ∫ π F 4 V0 π − = F 4 VA π π + = FR 4 M0 π − π = 2°/ 2ème Formule de Bresse entre G0 et G1 : 0 ds ) x x ( ) s ( EI ) s ( M ) x x ( v v 1 G 0 G 1 0 1 0 0 1 = − − − ω + = ∫ ) avec x1 = 2R ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ π π π π π π ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ θ θ + + θ θ + θ − = θ θ + − = θ θ + − = 0 2 / 0 2 / 0 2 / 2 2 0 1 d ) cos 1 ( M d cos M Md EI R d uploads/S4/ bresse-corrige 1 .pdf