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156504 Centre National d’Enseignement et de Formation A Distance Équations de d

156504 Centre National d’Enseignement et de Formation A Distance Équations de droites Mathématiques Mathématiques Livret 4 Trigonométrie – Vecteurs – Prépa niv. IV+ Trigonométrie – Vecteurs – Prépa niv. IV+ Mise à jour octobre 2007 *FC1565041.0* 1565 FC 1.0 Équations de droites Objectifs À la fin de ce livret, vous serez capable de déterminer une équation de droite et de tracer la droite. Conception : AFPA-CNEFAD AVERTISSEMENT AU LECTEUR Le présent livret fait l’objet d’une protection relative à la propriété intellectuelle, conformément aux dispo- sitions du Code du même nom. Son utilisateur s’interdit toute reproduction intégrale, partielle ou par voie dérivée et toute diffusion dudit document sans le consentement exprès de l’AFPA. Sous réserve de l’exercice licite du droit de courte citation, il est rappelé que toute reproduction intégrale, partielle ou par voie dérivée de ce document, sans le consentement exprès de l’AFPA, est constitutive du délit de contrefaçon sanctionné par l’article L. 335-2 du Code de la Propriété Intellectuelle. © AFPA 2007 Dépôt légal, février 2000 LIVRET 4 Équations de droites 3 Sommaire Méthode.................................................................................... 4 1. Équation cartésienne .......................................................... 5 1.1. Détermination d’une droite ............................................... 5 1.2. Équation ....................................................................... 5 1.3. Coefficient directeur ........................................................ 8 1.4. Tracé d’une droite d’équation donnée ................................ 10 2. Droites parallèles et droites perpendiculaires.................... 12 2.1. Droites parallèles............................................................ 12 2.2. Droites perpendiculaires .................................................. 13 2.3. Vecteur normal............................................................... 14 Corrigé des exercices ............................................................... 15 4 MATHÉMATIQUES Trigonométrie – Vecteurs – Prépa niv. IV+ Méthode 1. Étude du livret • Le livret s’étudie dans l’ordre chronologique. Après une première lecture, n’hésitez pas à revenir en arrière si vous avez l’impression de ne pas avoir bien compris certains points : quand on apprend, il est normal de ne pas tout comprendre à la première lecture. Il est très important que vous travailliez à votre rythme. • Faites tous les exercices qui vous sont proposés et vérifiez vos réponses en les comparant aux corrections proposées en fin de livret, même si vous êtes sûr de les avoir résolus correctement. Vous pourrez ainsi renforcer votre maîtrise du sujet et découvrir d’éventuels compléments ou des solutions plus astucieuses que les vôtres. • Si vous avez des doutes sur le sens d’un mot, vérifiez-le à l’aide d’un dictionnaire. 2. Réalisation des exercices Vous réaliserez les exercices de deux façons différentes : – soit vous êtes invité à répondre aux questions directement sur le fascicule (exercice signalé par le pictogramme ) ; – soit vous utiliserez une feuille séparée (exercice signalé par le picto- gramme ). 3. Réalisation de l’évaluation • Faites l’évaluation, en respectant les conseils d’organisation donnés en première page de cette évaluation, puis envoyez-la à la correction. • Votre travail se poursuit au retour de l’évaluation notée et commentée par le correcteur. Le correcteur peut vous proposer de reprendre certains points, de retravailler certains exercices ou de revenir sur des notions vues dans le(s) livret(s) précédent(s). Pour progresser, il est important de prendre en compte les remarques du correcteur et de suivre ses conseils. . 3 LIVRET 4 Équations de droites 5 APPRENTISSAGE ET ENTRAÎNEMENT 1. Équation cartésienne 1.1. Détermination d’une droite Deux points distincts déterminent une droite. Considérons deux points et d’une droite . Le vecteur est appelé vecteur directeur de (il indique sa direction). Une droite est déterminée si on connaît un point et sa direction, autrement dit si l’on connaît un point et un vecteur directeur . 1.2. Équation Exemple 1 : Soit la droite déterminée par et . Un point appartient à si et sont colinéaires et, récipro- quement, dès que et sont colinéaires, on peut affirmer que appartient à . Or et colinéaires se traduit simplement par (déter- minant de et nul). L’appartenance d’un point à se traduit donc par la relation . Cette relation est appelée équation cartésienne de . Cette relation peut s’écrire : pour retrouver une forme plus connue. A B (D) tAB (D) B A (D) A au au A (D) A(1, 2) au 1 – 3 ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ M(x, y) (D) zAM au zAM au M (D) zAM au det ( zAM, au) 0 = zAM au zAM x 1 – y 2 – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ au 1 – 3 ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ det ( zAM, au) 3(x 1) – ( 1)(y 2) – – – 3x y 5 – + 0 = = = M(x, y) (D) 3x y 5 – + 0 = (D) y – 3x 5 + = 6 MATHÉMATIQUES Trigonométrie – Vecteurs – Prépa niv. IV+ APPRENTISSAGE ET ENTRAÎNEMENT Exemple 2 : Soit la droite déterminée par et . Un vecteur directeur sera . Comme , traduit que appartient à . Une équation cartésienne de est donc : ; ou encore : ou encore : . Cas général : Dans le cas de la droite passant par et dirigée par , on obtiendra : Ou encore : . On obtient une équation de la forme en posant , et . On peut remarquer que est aussi . Résultats généraux : RÈGLE GÉNÉRALE : Une équation de droite s’écrit toujours sous la forme avec et qui ne sont pas tous deux nuls. Réciproquement, une équation de la forme , où et ne sont pas tous deux nuls, représente toujours l’équation d’une droite et, de plus, en représente un vecteur directeur. (D) A(– 3, 2) B(3, 0) rAB + 6 2 – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ zAM x 3 + y 2 – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ det ( zAM, rAB) x 3 + y 2 – 6 – 2 2 – (x 3) 6(y – 2) – + 0 = = = M(x, y) (D) (D) – 2x 6y – 6 + 0 = x 3y 3 – + 0 = y x – 3 + 3 ---------------------------------- x – 3 -------------- 1 + = = (D) A(x0, y0) au a b ⎝⎠ ⎛⎞ det ( zAM, au) x x0 – a y y0 – b b(x x0) – a(y – y0) – 0 = = = bx ay – ay0 bx0 – + 0 = Ax By C + + 0 = b A = – a B = ay0 bx0 – C = au a b ⎝⎠ ⎛⎞ au B – A ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ Ax By C + + 0 = A B Ax By C + + 0 = A B au B – A ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ LIVRET 4 Équations de droites 7 APPRENTISSAGE ET ENTRAÎNEMENT . Exercice 1 QUESTION Donnez un vecteur directeur de chacune des droites suivantes : a. ; .......................................................................................................................................................... b. ; .......................................................................................................................................................... c. . .......................................................................................................................................................... 3 Exercice 2 QUESTION Donnez une équation cartésienne de où et et de où et . Cas particuliers : : l’équation devient ; par exemple si et , on a aussi . La droite d’équation est parallèle à l’axe (elle est constituée de tous les points d’ordonnée ). 2x y 5 – + 0 = x 2 ----- - y 1 – + 0 = y 3x 1 – = (AB) A(0, 1) B(– 3, – 4) (CD) C(3, 1) D(0, 2) A 0 = By C + 0 = B 2 = C 1 = y 1 2 ------ – = x x' O 1 2 y = – y 1 2 ------ – = x'Ox 1 2 ------ – 8 MATHÉMATIQUES Trigonométrie – Vecteurs – Prépa niv. IV+ APPRENTISSAGE ET ENTRAÎNEMENT : l’équation devient ; avec, par exemple et , on obtient . La droite d’équation est parallèle à l’axe (elle est constituée de tous les points d’abscisse 3). 1.3. Coefficient directeur Reprenons les équations obtenues au paragraphe 1.2. Dans l’exemple 1, on obtenait ce qui s’écrit aussi . On dit que – 3 est le coefficient directeur de la droite. Dans l’exemple 2, on obtenait ce qui s’écrit aussi . Le coefficient directeur sera . Cas général : Une équation de droite se présente sous la forme : Si , on peut écrire cette équation : ou . En posant et , on a donc la forme . Remarquons que signifie que la droite est parallèle à . On peut alors énoncer : Résultat : RÈGLE : Toute droite non parallèle à l’axe admet une équation de la forme ; est le coefficient directeur de la droite ( indique la direction). B 0 = Ax C + 0 = A – 1 = c 3 = x 3 = O y' y x = 3 x 3 = y'Oy 3x y 5 – + 0 = y – 3x 5 + = x 3y 3 – + 0 = y 1 3 ------ – x 1 + = 1 3 ------ – Ax By C + + 0 = B 0 ≠ By – Ax C – = y A B ------- x – C B ------- - – = m A B ------- – = p C B -------- – = y mx p + = B 0 = y'Oy y'Oy y mx p + = m m LIVRET 4 uploads/S4/ equations-de-droites.pdf