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RESOLUTION DU DEVOIR 1-) Résolvons le système (10) sachant que α 0=0 et α n+1=0

RESOLUTION DU DEVOIR 1-) Résolvons le système (10) sachant que α 0=0 et α n+1=0. En faisant varier i de 1 a 39, on a une équation de la forme : N*L =V Donc L=N −1*V Avec :  L est la matrice colonne des α i avec ‘i’ allant de 1 à 39 donc on a : L= matrice(39,1)¿),  V est la matrice colonne des variables 6 h 2 ¿ avec ‘i’ allant de 1 à 39  Et N est la matrice traduisant le système obtenu. CALCULONS L’INVERSE DE N N=zeros(39); N(1,1)=4; N(1,2)=1; k=1; for(i=2:1:38) N(i,k)=1; N(i,k+1)=4; N(i,k+2)=1; k=k+1; end N(39,38)=1; N(39,39)=4; N=N disp(N’=N affiche la matrice N') N=N affiche la matrice N W=inv(N); Y=[7;7.4;7.8;8.25;8.6;8.9;9.1;9.15;9.2;9.25;9.3;9.25; 9.2;9.1;9;8.8;8.65;8.45;8.2;7.8;7.35;6.8;6.25;5.7;5.3; 4.9;4.65;4.45;4.35;4.3;4.1;4;3.9;3.8;3.65;3.5;3.25;2.9 ;2.5;2;1.8]; V=zeros(39,1); for(n=1:1:39) V(n,1)=24*(Y(n+2,1)+Y(n,1)-2*Y(n+1,1)); end L=C*V Avec ‘T’ nous avons les valeurs des ¿) et nous avons α 0=0 Donc (α 0,α 1,α 2…α39)= (0,-0.12812,0.51248,-0.72179,- 0.025329,-0.3769,-0.86708,0.24522,-0.11381,0.21003,- 0.72631,0.29522,-0.45455,0.323,-0.83746,0.62682, 0.46983,0.052486,-0.94012,0.10799,-0.69183,0.25934, -0.34551,1.1227,-0.54536,1.0587,- 0.089459,0.49913 ,0.49293,-1.2708,0.99044,- 0.29091,0.17319,-0.40186 ,0.23423,-0.53507,- 0.49395,0.11088,-1.1496,2.0874) 2-) a- Traçons le graphe de S3 T [xi+1, xi](i=0,1…39) La fonction spline cubique est définit de la manière suivante : S3 T [xi+1, xi]= α i+1 6h i+1 2 (x−xi) 3− α i 6h i+1 2 (x−xi+ 1) 3+β i+1 2 (x−xi)+γ i+1 2 Avec γ i+ 1 2=f (xi)- αi 6 h i+ 1 2 2 et β i+ 1 2= (f (xi+1)−f (xi)) h i+1 2 + h i+ 1 2 6 (α i+1-α i) Avec h i+1 2=h=0.5 ALPHA=zeros(41,1); for(h=1:1:39) ALPHA(h+1,1)=T(h,1); ALPHA(i,1)=α i end X=zeros(41,1); w=1; for(v=1:1:41) w=w+0.5; X(v,1)=w; X(i,1)=xi End >> disp(’Nous avons pris 41 valeurs de xi au lieu de 40(X0,X1...X39) parce que Nous aurons besoin de Xn+1(n=40) dans nos calculs de GAMMAi+1/2 et BETAi+1/2’) Nous avons pris 41 valeur de xi au lieu de 40(X0,X1...X39) parce que Nous aurons besoin de Xn+1(n=40)dans mes calculs de GAMMAi+1/2 et BETAi+1/2 GAMMA=zeros(40,1); GAMMA(i,1)=γ i+1 2 BETA=zeros(40,1); BETA(i,1)=β i+1 2 for(t=1:1:40) GAMMA(t,1)=Y(t,1)-1*ALPHA(t,1)/24; BETA(t,1)=((Y(t+1,1)-Y(t,1))*2)+(ALPHA(t,1)- ALPHA(t+1))/12; end GAMMA=GAMMA; BETA=BETA; for(u=1:1:39) x=X(u,1):0.0001:X(u+1,1); S=(2/6)*ALPHA(u+1,1)*((x-X(u,1)).^3)- (2/6)*ALPHA(u,1)*((x-X(u+1,1)).^3)+BETA(u,1)*(x- X(u,1))+GAMMA(u,1); plot(x,S,'b:d') S=S3 T [xi+1, xi] hold on end b- Calculons le volume engendré par le graphe de S3 T [xi+1, xi] quand la surface définit par A i+ 1 2 T ={(x,y)∈R 2/0≤y≤S3 T (x) avec xi≤x≤xi+1} tourne de 2 π autour de l’axe des x. Soit V i+1 2 ce volume, alors on a : V i+ 1 2 =∫ xi xi+1 π(S¿¿3 T [xi+1, xi]) 2(x)dx ¿ pour allant de ‘0’ a ‘39’. VOLUME_GRAPHE=0; VOLUME_GRAPHE=V i+1 2 for(u=1:1:39) FONCTION_GRAPHE=@(x) (pi/1)*(((2/6)*ALPHA(u+1,1)*((x-X(u,1)).^3)- (2/6)*ALPHA(u,1)*((x-X(u+1,1)).^3)+BETA(u,1)*(x- X(u,1))+GAMMA(u,1)).^2); VOLUME_GRAPHE=VOLUME_GRAPHE+integral(FONCTION,X(u,1),X (u+1,1)); end VOLUME_GRAPHE= VOLUME_GRAPHE VOLUME_GRAPHE= 2967.1cm 3 c- Donnons une approximation de V i+1 2 en utilisant les formules ci-dessous Formule de Trapèze V i+1 2= π 2(xi+1-xi)(f (xi+1) 2+f (xi) 2) Formule de rectangle a gauche V i+1 2= π 2(xi+1-xi)f (xi) 2 Formule de rectangle a droite V i+1 2= π 2(xi+1-xi)f (xi +1) 2 VOLUME_TRAPEZE=0; VOLUME_RECTANGLE_GAUCHE=0; VOLUME_RECTANGLE_DROITE=0; for(u=1:1:39) VOLUME_TRAPEZE=VOLUME_TRAPEZE+(pi/2)*(X(u+1,1)- X(u,1))*((Y(u,1))^2+(Y(u+1,1))^2); VOLUME_RECTANGLE_GAUCHE=VOLUME_RECTANGLE_GAUCHE+pi*(X( u+1,1)-X(u,1))*(Y(u,1)^2); VOLUME_RECTANGLE_DROITE=VOLUME_RECTANGLE_DROITE+pi*(X( u+1,1)-X(u,1))*(Y(u+1,1)^2); end VOLUME_RECTANGLE_DROITE= VOLUME_RECTANGLE_DROITE VOLUME_RECTANGLE_DROITE = 2930.8cm 3 VOLUME_RECTANGLE_GAUCHE=VOLUME_RECTANGLE_GAUCHE VOLUME_RECTANGLE_GAUCHE = 3001.5cm 3 VOLUME_TRAPEZE=VOLUME_TRAPEZE VOLUME_TRAPEZE = 2966.2cm 3 Après calcul de ces volumes, on constate que la formule de Trapèze approxime au mieux le volume du graphe (VOLUME_GRAPHE=2967.1cm 3). V i+1 2=V i+1 2 =∫ xi xi+1 π(S¿¿3 T [xi+1, xi]) 2(x)dx ¿≈ π 2(xi+1-xi)(f (xi+1) 2+f (xi) 2) 3-) Calculons le volume d’eau V i+ 1 2 nécessaire pour remplir la bouteille jusqu’au niveau xR∈]0,H[ V i+1 2(]0,H[) =∫ xi xi+1 π(S¿¿3 T [xi+1, xi]) 2(x)dx ¿ +V i+ 1 2(]0,a[)+V i+ 1 2(]b,H[) V1=integral(@(y)pi*(((27/3)-(1/3)*y).^2),21,24) V1 = 21.991 V2=integral(@(z)pi*((6+(2/3)*z).^2),0,1.5) V2 = 199.49 V3=integral(@(t) pi*((6-12*t).^2),0,0.5) V3 = 18.85 VOLUME_EAU=VOLUME+V1+V2-V3 VOLUME_EAU = 3169.7 V i+1 2(]0,H[)=VOLUME_EAU =3169.7cm 3 4-) Résolvons le problème inverse du probleme de la question 3-) Donc nous devons déterminer pour un volume precis, le niveau correspondant c’est-a-dire trouver H’. while(h3>0) disp('Ce volume est superieur a celui de LA BOUTEILLE') VOLUME_DONNEE=input('ENTREZ un volume plus pétit:VOLUME_DONNEE=') h3=VOLUME_DONNEE-VOLUME-V1-V2+V3; end VOLUME_DUNNEE=VOLUME_DONNEE; h1=VOLUME_DONNEE-V2+V3; h2=VOLUME_DONNEE-VOLUME-V2+V3; h3=VOLUME_DONNEE-VOLUME-V1-V2+V3; H=0; if(h1<=0) disp('H’ est entre 0.25 et 1.5') for(m=0:0.001:1.5) Vm=integral(@(z)pi*((6+(2/3)*z).^2),0,1.5-m); hm=VOLUME_DONNEE-Vm+V3; if(hm>=0) disp('H’ est entre a et b:') a=1.5-m b=1.5-m+0.001 disp('Nous pouvons prendre comme valeur de la hauteur:') H=1.5-m disp('Le niveau de leau est de 0 a H') VOLUME_DONNEE=-6000; end end elseif(h2<=0) disp('H’ EST ENTRE 1.5 ET 21') Vu=0; VVu=integral(@(x) (pi/1)*(((2/6)*ALPHA(1+1,1)*((x-X(1,1)).^3)- (2/6)*ALPHA(1,1)*((x-X(1+1,1)).^3)+BETA(1,1)*(x- X(1,1))+GAMMA(1,1)).^2),X(1,1),X(1+1,1)); for(u=1:1:40) Vu=integral(@(x) (pi/1)*(((2/6)*ALPHA(u+1,1)*((x-X(u,1)).^3)- (2/6)*ALPHA(u,1)*((x-X(u+1,1)).^3)+BETA(u,1)*(x- X(u,1))+GAMMA(u,1)).^2),X(u,1),X(u+1,1)); hu=VOLUME_DONNEE-VVu-V2+V3; if(hu<=0) disp('H’ est entre u1 et u2'); u1= X(u,1) u2= X(u+1,1) u Vm=0; VVm=VVu-integral(@(x) (pi/1)*(((2/6)*ALPHA(u+1,1)*((x-X(u,1)).^3)- (2/6)*ALPHA(u,1)*((x-X(u+1,1)).^3)+BETA(u,1)*(x- X(u,1))+GAMMA(u,1)).^2),X(u,1),X(u,1)+0.00001); for(m=X(u,1):0.001:X(u+1,1)) Vm=integral(@(x)(pi/1)*(((2/6)*ALPHA(u+1,1)*((x- X(u,1)).^3)-(2/6)*ALPHA(u,1)*((x- X(u+1,1)).^3)+BETA(u,1)*(x-X(u,1)) +GAMMA(u,1)).^2),m,m+0.001); hm=VOLUME_DONNEE-VVm-V2+V3; if(hm<=0) disp('H’ est entre a et b:') a=m b=m+0.001 disp('Nous pouvons prendre comme valeur de la hauteur:') H’=m+0.0001 disp('Le niveau de leau est de 0 a H’') VOLUME_DONNEE=60000; end VVm=VVm+Vm; end VOLUME_DONNEE=60000; end VVu=VVu+Vu; end elseif(h3<=0) disp('H’ est entre 21 et 24') for(m=21:0.001:24) Vm=integral((@(y)pi*(((27/3)- (1/3)*y)).^2),21,m+0.001); hm=VOLUME_DONNEE-Vm-VOLUME-V2+V3; if(hm<=0) disp('H’ est entre a et b:') a=m b=m+0.001 disp('Nous pouvons prendre comme valeur de la hauteur:') H’=m+0.0001 disp('Le niveau de leau est de 0 a H') VOLUME_DONNEE=6000; end end end 5-) Déterminons les coordonées du centre de gravité de la bouteille 1 erCas : Elle est vide et possède une épaisseur uniforme ‘e’ Soit G le centre de gravité de cette bouteille vide. Du fait de la révolution de la bouteille, on peut dire que le centre de gravité de cette bouteille est sur l’axe (OX) donc G est de coordonnée (xG,0). xG=∬x dA ∬dA Posons S=∬dA=∫ 0 H ((f (xi)+e)−f ( xi))dx=eH S’=∬xdA=∫ 0 H x ((f (xi)+e)−f (xi))dx =∫ 0 H exdx=e H 2 2 On a donc xG=S' S = e H 2 2 eH = H 2 =24 2 =12 D’où G est de coordonné (12,0) .1 erCas La bouteille remplit d’eau et possède une épaisseur ‘e’ Soit G’ ce centre de gravité de la bouteille d’eau. Du fait de la révolution et de sa symétrie par rapport a l’axe (OX), on peut dire que son centre de gravité est sur l’axe (OX).G’ est de cordonnée (xG',0).Avec xG' le barycentre de xG et xO. xO étant le centre de gravité de la masse d’eau contenu dans la bouteille. x0=∬x dA ∬dA Posons So=∬dA=So[ε ,a¿+∫ xi xi+1 S3 T [ xi+1, xi](x)dx+∫ b H ∫ 0 27−( 1 3) x dy dx S’o=∬xdA= 6-) Dessinons la bouteille sur ordinateur for(u=1:1:39) x=X(u,1):0.0001:X(u+1,1); S=(2/6)*ALPHA(u+1,1)*((x-X(u,1)).^3)- (2/6)*ALPHA(u,1)*((x-X(u+1,1)).^3)+BETA(u,1)*(x- X(u,1))+GAMMA(u,1); title('Graphique de la bouteille') ylabel(' l''axe des ordonnées ') xlabel(' l''axe des abscisses X') plot(x,S) hold on end y=21:0.001:24; Fonction_FIN=(27/3)-(1/3)*y; plot(y,Fonction_FIN) hold on z=0:0.001:1.5; FONCTION_DEBUT=6+(2/3)*z; plot(z,FONCTION_DEBUT) hold on t=0:0.001:0.25; FONCTION_INTERMEDIERE=6-(6/0.25)*t; plot(t,FONCTION_INTERMEDIERE) FONCTION_3D=zeros(1,24292); t=0; for(d=1:1:251) F1=(6-(6/0.25)*t); FONCTION_3D(1,d)=F1; t=t+0.001; end t=t; M=0; for(p=252:1:1752) F2=6+(2/3)*M; FONCTION_3D(1,p)=F2; M=M+0.001; end for(u=1:1:39) for(r=1+(u-1)*501:1:501*u) x=1.5+(r-1)*0.001; S=(2/6)*ALPHA(u+1,1)*((x-X(u,1)).^3)- (2/6)*ALPHA(u,1)*((x-X(u+1,1)).^3)+BETA(u,1)*(x- X(u,1))+GAMMA(u,1); FONCTION_3D(1,r+1752)=S; end end f=21; for(c=21292:1:24292) F3=(27/3)-(1/3)*f; FONCTION_3D(1,c)=F3; f=f+0.001; end FONCTION_3D=FONCTION_3D; plot(cylinder(FONCTION_3D)) title('Graphique de la bouteille') ylabel(' l''axe des ordonnées ') xlabel(' l''axe des abscisses X') a=-5:0.001:5; b=-5:0.001:5; c=0:0.001:30; figure [a,b,c] = cylinder(FONCTION_3D); surf(a,b,c*50) axis image uploads/S4/ resolution-du-devoir.pdf