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Centre d’Aide en Mathématiques pour les Elèves en Difficultés (CAMED) Page 1 Un

Centre d’Aide en Mathématiques pour les Elèves en Difficultés (CAMED) Page 1 Union des Comores Office Nationale des examens et Concours Baccalauréat Blanc IN° 1 Session : 2016 Epreuve de : Mathématiques Durée : 4 heurs. Coef : 4 Série : D Exercice 1 : « 5 points » Une urne contient 5 boules noirs et 5 boules blanches indiscernables au touchées. On tire successivement et avec remise n boules dans cette urne ; (n étant un entier naturel supérieur ou égal à 2). Soient les événements : A : « On obtient des boules des deux couleurs » ; B : « On obtient au plus une boule blanche » 1. a)) Calculer la probabilité de l’événement C : « Toutes les boules sont de même couleurs » b)) Calculer la probabilité de l’événement D : « On obtient exactement une boule blanche ». 2. En déduire que : P ( A  B ) = n n 2 ; P ( A ) = 1 – 1 2 1  n ; P ( B )= n n 2 1  . 3. Montrer que : P ( A  B ) = P ( A ) P ( B ) si et seulement si 1 2  n = n + 1. 4. En déduire la valeur de n pour laquelle les événements A et B soient indépendants. Exercice 2 : « 5 points » Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé directe ( 0, i , j ) ; on donne les points A, B et I d’affixe respectives A z = 1 – i , B z = - 2 + 2 i et I z = 2 2  k où k un entier naturel. Soit C le point tel que le point I milieu du segment [ BC ]. 1. Montrer que C z = k – 2 i. 2. On pose : Z = A B A C z z z z   . a) Etablir la forme algébrique du nombre complexe Z. b) Déterminer alors la valeur de k pour que le triangle ABC soit rectangle en A. 3. Dans la suite on prend k = 0. Soit D le point défini par : - 2 1 AB + AC + AD =O . Montrer que D z = 2 1 + 2 3 i . 4. Soit h l’application du plan dans lui-même qui à tout point M associe le point M’ tel que : ' MM =- 2 1 MB+ MC + MD a) Montrer que ' AM =- 2 1 AM . b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l’application h. 5. Etablir l’écriture complexe d’une homothétie H de centre A et de rapport - 2 1 . 6. a)) On pose H ( B ) = B’ et H ( C ) = C’. Calculer ' B z et ' C z . Centre d’Aide en Mathématiques pour les Elèves en Difficultés (CAMED) Page 2 b)) En déduire l’image du triangle ABC par l’homothétie H. Problème : « 10 points » Les parties A et B sont largement indépendantes. Partie A : Etude d’une fonction On considère la fonction f définie sur l’intervalle [ 0 , + [ par : f ( x ) = x ( 1 – ln x ) si x > 0 et f( 0 ) = 0 1. Montrer que la fonction f est continue au point x0 = 0 2. Etudier la dérivabilité de f au point x0 = 0 3. Préciser alors la tangente à ( Cf ) au point d’abscisse x0 = 0. 4. Dresser le tableau de variation de f 5. a)) Résoudre dans l’intervalle ] 0 , +  [, l’équation f ( x ) = 0. Interpréter géométriquement le résultat. b)) Calculer         x x f x ) ( lim . Conclure. c)) Tracer ( Cf ) dans un repère orthonormé ( O , i , j ). 6. a)) A l’aide d’une intégration par partie, calculer l’intégral I =  e dx x x 1 . ln . b)) Calculer alors la valeur exacte de la surface du domaine du plan limité par ( Cf ), l’axe des abscisses et les droites d’équations respective x = 1 et x = e. Partie B : Etude d’une suite On considère la suite ( Un ) définie par : Un =     1 0 1 dt e e t nt , pour tout entier naturel n. 1. Calcul de U0. a)) Montrer que : U0 + U1 = 1 b)) Calculer la valeur exacte de U1. c)) En déduire la valeur exacte de U0. 2. Etude de la convergence de la suite ( Un ) a)) Montrer que, pour tout entier naturel n, Un  0. b)) Etudier le sens de variation de la suite ( Un ). c)) En déduire que la suite ( Un ) converge. 3. Calcul de la limite de la suite ( Un ) a)) Montrer que, pour tout réel t de l’intervalle [ 0 ; 1 ], t e  1 1  e e  1 . b)) En déduire que pour tout entier naturel n, Un  e e  1   1 0 dt e nt . c)) Montrer alors que, pour tout entier naturel n, 0  Un  n 1 ( 1 – e-n ) e e  1 . d)) Déterminer la limite de la suite ( Un ) Centre d’Aide en Mathématiques pour les Elèves en Difficultés (CAMED) Page 3 Union des Comores Office Nationale des examens et Concours Baccalauréat Blanc IN° 2 Session : 2016 Epreuve de : Mathématiques Durée : 4 heurs. Coef : 4 Série : D Exercice 1: « 3 points » Un jeu comporte 16 cartes ( 4 as, 4 roi, 4 dames , 4 valets). On tire au hasard et simultanément deux cartes. 1. Calculer la probabilité des événements suivants : A :« obtenir deux as » ; B : « obtenir un seul valet » ; C :« tirer au moins un roi rois » 2. On s’intéresse à la couleur des cartes tirées. X la variable aléatoire associe le gain du joueur dont ce dernier gagne 1 00 Fc pour chaque carte rouge tirée. a)) Déterminer la loi de probabilité de X b)) Calculer l’espérance mathématique de X. Exercice 2 : « 4 points » Dans une maternité, on a relevé, pour chacune des six naissances d’une journée, l’âge x de la mère (en année) et le poids y du nouveau née (en kilogramme). Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant : Age de la mère : xi 16 18 20 22 26 27 Poids du nouveau né : yi 2,8 3,4 3,1 2,9 3,6 4 1. Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage des points de cette série statistique double. 2. A l’aide de la méthode de MAYER, montrer que la droite d’ajustement linéaire de cette série double ( xi , yi ), a pour équation réduite y = 35 2 x + 14 29 . 3. En supposant que la relation entre le poids du nouveau née et l’âge de la mère est générale, donner une estimation du poids d’un nouveau née d’une mère de 30 ans. Exercice 3 : « 4 points » Le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O; u ; v), on considère les points A et I d’affixes respectives zA = 3 + 2i et zI = i . Soit ( L ) le cercle de centre I et de rayon r = 2. 1. a)) Montrer que le point A appartient au cercle ( L ). b)) Faire une figure (on complétera la figure au fur et à mesure). 2. Soit R la transformation qui à tout point d’affixe z = x + i y associe le pont M’ d’affixe z’ = x’ +i y’, où x, x’, y et y’ des nombres réels, tel que :        x y y x 1 ' 1 ' On désigne par B l’image du point A par R. a)) Exprimer z’ en fonction de z. b)) Caractériser alors la transformation R. c)) Montrer que : zB = – 1 + i ( 1 + 3 ). 3. Calculer l’affixe du point C symétrique du point A par rapport au point I. 4. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier votre réponse. 5. Calculer la surface du triangle ABC. Centre d’Aide en Mathématiques pour les Elèves en Difficultés (CAMED) Page 4 Problème : « 9 points » Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire On considère la fonction g définie sur IR par : g ( x ) = ln ( 1+ e-x ) 1. a)) Dresser le tableau de variation de g b)) En déduire que, pour tout réel x, on uploads/S4/ terminale-d.pdf