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Lycée Bellepierre – 1re S – Mathématiques – Devoir commun du 08/02/2013 1 1re S

Lycée Bellepierre – 1re S – Mathématiques – Devoir commun du 08/02/2013 1 1re S – Mathématiques – Devoir commun du 08/02/2013 Durée 2 heures. L’usage de la calculatrice est autorisé. Ce sujet comporte 2 pages. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part impor- tante dans l’appréciation des copies. Exercice 1 (2 points) La fonction f est déﬁnie sur I R par : f(x) = x2 + 2x −1. La fonction f est dérivable sur I R, de dérivée f ′, et elle est représentée ci-dessous par la courbe Cf. 1. Calculer f ′(x) pour tout réel x. 2. Tracer la droite (d), tangente à la courbe Cf au point A d’abscisse −3. Justiﬁer par un calcul 3. Déterminer une équation réduite de la droite (d). 1 2 3 4 5 6 7 −1 −2 −3 −4 −5 1 −1 −2 −3 −4 Cf Exercice 2 (5 points) 1. Tracer un repère du plan et placer le point A (−3 ; 2). 2. Le vecteur ⃗ u a comme coordonnées (5 ; 2). La droite (d1) passe par le point A et ⃗ u est un vecteur directeur de (d1). (a) Tracer la droite (d1). (b) Calculer une équation cartésienne de la droite (d1). 3. (a) Placer les points B (−2 ; −3) et C (8 ; 1) et tracer la droite (BC). (b) Les droites (d1) et (BC) sont-elles parallèles ? Justiﬁer. 4. Une équation cartésienne de la droite (d2) est 3x −4y + 3 = 0. Tracer la droite (d2). 5. Les droites (d1) et (d2) se coupent en D. Calculer les coordonnées de D. http://www.maths.lyceebellepierre.fr Lycée Bellepierre – 1re S – Mathématiques – Devoir commun du 08/02/2013 2 Exercice 3 (4 points) ABCD est un parallélogramme. Les points E et F sont déﬁnis par : − − → BE = 3 4 − → AB et − − → DF = −1 3 − − → DA. 1. Réaliser une ﬁgure. 2. Décomposer chaque vecteur − − → CE et − − → BF en fonction des vecteurs − → AB et − − → AD. 3. En déduire que les droites (CE) et (BF) sont parallèles. Exercice 4 (2 points) La fonction f est déﬁnie par : f(x) = 1 1 + x2 sur [0; +∞[ 1. Indiquer sans justiﬁer le sens de variation de la fonction carré sur [0 ; +∞[. 2. En déduire le sens de variation de la fonction f sur [0 ; +∞[ , en rédigeant soigneusement et en citant des propriétés sur le sens de variation des fonctions. 3. En déduire que pour tout réel x positif, f(x) ⩽1. Exercice 5 (2,5 points) 1. Exécuter l’algorithme ci-contre en complétant le tableau ci-dessous. k a 13 8 14 11 9 17 s 0 2. Qu’aﬃche cet algorithme à la sortie ? 3. Que fait cet algorithme pour la liste de nombres : 13 ; 8 ; 14 ; 11 ; 9 ; 17 ? s prend la valeur 0 Pour k = 1 jusqu’à k = 6 Entrer a s prend la valeur s + a Fin de la boucle “pour” m prend la valeur s 6 Aﬃcher m Exercice 6 (4,5 points) ABCD est un carré de côté 10 cm et AMPN est un carré de côté x cm, où x est un nombre appartenant à l’intervalle I = [0 ; 10]. On désigne par S(x) l’aire en cm2 de la partie grisée. 1. Démontrer que pour tout nombre x de I : S(x) = −x2 + 5x + 50. Dans cette question, toute trace de recherche, même in- complète, ou d’initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation 2. (a) Dresser le tableau de variation de S sur I. (b) Pour quelle valeur de x l’aire S(x) est-elle maximale ? Que vaut alors cette aire ? 3. Quel est l’ensemble des nombres x de I pour lesquels S(x) ⩽aire(AMPN) ? A B C D M P N x http://www.maths.lyceebellepierre.fr uploads/S4/ devoir-commun-math-1-lycee-bellepierre.pdf