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AEENSPY 2013 : TOUS AU NIVEAU III TOME 1 1 SUPERVISION GENERALE:NDONGO CEDRIC FENELON SG AEENSPY 2013/4GTEL TEL : 93 01 37 36/ 70 11 52 99| ASSOCIATION DES ETUDIANTS DE L‟ENSP PAGE 1 AEENSPY 2013 : TOUS AU NIVEAU III TOME 1 2 SUPERVISION GENERALE:NDONGO CEDRIC FENELON SG AEENSPY 2013/4GTEL TEL : 93 01 37 36/ 70 11 52 99| ASSOCIATION DES ETUDIANTS DE L‟ENSP PAGE 2 AEENSPY 2013 : TOUS AU NIVEAU III TOME 1 3 SUPERVISION GENERALE:NDONGO CEDRIC FENELON SG AEENSPY 2013/4GTEL TEL : 93 01 37 36/ 70 11 52 99| ASSOCIATION DES ETUDIANTS DE L‟ENSP PAGE 3 AEENSPY 2013 : TOUS AU NIVEAU III TOME 1 4 SUPERVISION GENERALE:NDONGO CEDRIC FENELON SG AEENSPY 2013/4GTEL TEL : 93 01 37 36/ 70 11 52 99| ASSOCIATION DES ETUDIANTS DE L‟ENSP PAGE 4 AEENSPY 2013 : TOUS AU NIVEAU III TOME 1 5 SUPERVISION GENERALE:NDONGO CEDRIC FENELON SG AEENSPY 2013/4GTEL TEL : 93 01 37 36/ 70 11 52 99| ASSOCIATION DES ETUDIANTS DE L‟ENSP PAGE 5 EXAMEN DE PROBA 2012-2013 EXERCICE I : Un appareil électronique envoie à une imprimante un code qui est un nombre de Quatre chiffres, chaque chiffre ne pouvant prendre que les valeurs 0 et 1(Exemple : 1011). 1. Combien l‟appareil peut-il fabriquer de codes distincts ? (0,5pt) 2. supposera dans ce qui suit que tous ces codes ont la même probabilité d‟être produits. Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de chiffre 1 figurant dans e code. Déterminer la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique.(1 pt) 3. Une imprimante a été choisie au hasard dans une série. A la suit d‟étude antérieures, on a observé 5 car possibles. Dans le car l‟imprimante n‟écrit que des 0, quel que soit le code Emit par l‟appareil. Pour chaque élément n de l‟ensemble , dans le cas l‟imprimante écrit correctement les n premier caractères du code et n‟écrit ensuit que des 0.Par exemple, lorsque survient, tous les codes commençant par 01 sont imprimés 0100. Dans le cas , l‟imprimante fonctionne correctement .L‟état de l„imprimante sera donc considéré comme le résultat d‟une épreuve aléatoire ayant 5 issues possibles .On admet que, pour chaque éléments n de l‟ensemble Le code émit par l‟appareil est indépendant de l‟état de l‟imprimante. a)Calculer la probabilité Pour la suite, C désigne l‟événement :<<le code imprimé est identique à celui émis par l‟appareil>>. b) On suppose que se produit. Quelle est la probabilité que le code imprimé soit quant même celui que l‟appareil a envoyé ? En déduire la probabilité (1,5pts) c)Déterminer de même pour tout élément n de l‟ensemble .En déduire P(C). d) Si le code imprimé est exactement celui émis par l‟appareil, quelle est la probabilité que se soit produit ? EXERCICE II : La durée de vie d‟un robot, exprimé en années, jusqu‟à ce que survienne la première panne est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre . 1. Déterminer pour que la probabilité soit égale à 0,3. (1,5pts) 2. A quel instant , à un moi près, la probabilité qu‟un robot tombe en panne pour la première fois est-elle de 0,5 ? (1,5pts) 3. Calculer la probabilité qu‟un robot n‟ait pas eu de panne au cours des deux premières années. 4. Sachant qu‟un robot n‟a pas eu de panne au cours des premières années, quelles est la probabilité qu‟il soit encore en état de marcher au bout de 6 ans ?(2pts) AEENSPY 2013 : TOUS AU NIVEAU III TOME 1 6 SUPERVISION GENERALE:NDONGO CEDRIC FENELON SG AEENSPY 2013/4GTEL TEL : 93 01 37 36/ 70 11 52 99| ASSOCIATION DES ETUDIANTS DE L‟ENSP PAGE 6 5. On considère un lot de 10 robots fonctionnant de manière indépendante. Déterminer la probabilité que, dans ce lot, il y ait au moins un robot qui n ait pas eu de panne au cours des deux premières années. Peut-on dire que c‟est du bon matériel ? Justifier.(2pts) EXERCICE III soit la fonction définie sur si et 0 ailleurs. 1. Vérifier que est une densité de probabilité.(0,5pt) 2. Soit une variable aléatoire continue dont la loi a pour densité .Montrer que est une variable continue, dont on précisera la densité. Reconnaitre la loi de et en déduire son espérance mathématique .(2,5pts) 3)Calculer l‟espérance mathématique et lavariable (1pt) AEENSPY 2013 : TOUS AU NIVEAU III TOME 1 7 SUPERVISION GENERALE:NDONGO CEDRIC FENELON SG AEENSPY 2013/4GTEL TEL : 93 01 37 36/ 70 11 52 99| ASSOCIATION DES ETUDIANTS DE L‟ENSP PAGE 7 EBAUCHE DE CORRECTION DE L’EPREUVE DE PROBA 2012-2013 « Aux âmes bien nées, la valeur n’attend point le nombre d’années» Pierre Corneille. EXERCICE I : 1 .Le nombre de codes que l‟appareil peut fabriquer est égal au nombre d‟applications d‟un ensemble à 2 éléments (ensemble des chiffres 0 et 1) vers un ensemble à 4 éléments (positions des chiffres du code), soit 2. Il y a équiprobabilité. Nombre de chiffre 1 dans le code. Loi de probabilité de : : Les différents codes produits sont : 0000, 1000, 0010, 0100, 0110, 0111, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 0001, 0011, 0011. En dénombrant chaque apparition des 1 (il y a équiprobabilité), on a la loi suivante : les éléments de Ω sont les différents codes produits ² On pouvait également considérer la probabilité comme le nombre de façon de choisir les n positions de 1 parmi les 4 places disponibles donc : . 16=4²=cardΩ. *Espérance mathématique : AN : 3. a)Calcul de On sait que les événements snt les résultats possibles d‟une épreuve aléatoire, donc, on aura : AN: b) Calcul de : Dans ce cas, il s‟agit de la probabilité que le code fournit n‟ait que des 0, puis qu‟il est correcte et que la machine ne donne que des 0 soit (calculée préalablement dans la v.a X). - la formule des probabilités conditionnelles, on a : c) Détermination des probabilités et . -n=1 : est la probabilité que le code fourni finisse par 3 zéros. En dénombrant dans la liste des codes établie plus haut, on a : = -n=2 : le code fini par 2 zéros. AEENSPY 2013 : TOUS AU NIVEAU III TOME 1 8 SUPERVISION GENERALE:NDONGO CEDRIC FENELON SG AEENSPY 2013/4GTEL TEL : 93 01 37 36/ 70 11 52 99| ASSOCIATION DES ETUDIANTS DE L‟ENSP PAGE 8 -n=3 :le code fini par 1 zéro . -n=4 : le code est bien remit puis que l‟imprimante fonctionne correctement soit Puis =0,872 -Calcul de P(C) : en appliquant la formule des probabilités totales au système d‟évènements complet ,on a : AN : d) Calcul de En appliquant la formule deBAYES au même système que dans la question c), on a : EXERCICE II V.a où est la fonction densité de probabilité de . 1. Valeur de : on a , or X est un v.a qui suit une loi continue. Ainsi 1- 2) Détermination de l’instant : ⇒ =0,5 donc AN : soit environ 3ans et demi. 3) Le robot n’a pas eu de pannes pendant les 2 premières années ; ce qui signifie que le robot vit forcement pendant plus de deux ans ; = AN : ; 4. Calcul de Posons les évènements suivants : A :<<le robot n‟a pas eu de panne au cours des deux premières années >> et B :<<il est en état de marche au bout de six ans>>. Utilisons la formule des probabilités conditionnelles. Avec car s‟il a AEENSPY 2013 : TOUS AU NIVEAU III TOME 1 9 SUPERVISION GENERALE:NDONGO CEDRIC FENELON SG AEENSPY 2013/4GTEL TEL : 93 01 37 36/ 70 11 52 99| ASSOCIATION DES ETUDIANTS DE L‟ENSP PAGE 9 fonctionné pendant 6 ans, alors il n‟a pas eu de panne durant les deux premières années. Soit : AN : 5) On a un lot de 10 robots indépendant. Soit D :<<dans le lot de 10, au moins un robot est en état de marché >>.On a : :<<aucun des 10 robots n‟est en état de marché>>. Pour cela, trouvons d‟abord cette probabilité pour un robot. On a : Or les fonctionnements des robots étant indépendants, il s‟agit de la probabilité de l‟intersection de 10 évènements indépendants, donc et Oui , on peut dire que c’est du bon matériel, parce qu’en achetant 10 robots n est presque sur d’en utiliser au moins pendant plus de deux ans. EXERCICE III 1. Vérifions que est une densité : * >0 * On a : Avec Donc est bien une fonction de probabilité. 2 . Montrons que est une v.a continue. On sait que la fonction , définie par est une fonction continue et dérivable sur .Or la v.a est continueℝ⇒ toute fonction continue de X est continue ⇒ est continue.- Fonction de densité de la fonction de répartition de est donnée par Or on a Les 2 v.a ont la même fonction de répartition AEENSPY 2013 : TOUS AU NIVEAU III TOME 1 10 SUPERVISION GENERALE:NDONGO CEDRIC FENELON SG AEENSPY 2013/4GTEL TEL : 93 01 37 36/ 70 11 52 99| uploads/S4/ tous-3-final.pdf