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28/02/2011 1 DEFINITION ET PRINCIPES FONDAMENTAUX 1. OBJET DE LA RDM • Etude de

28/02/2011 1 DEFINITION ET PRINCIPES FONDAMENTAUX 1. OBJET DE LA RDM • Etude de la stabilité et de la résistance des construction Calcul des efforts internes (sollicitations) Calcul des contraintes Calcul des déformations • Etude des structures en équilibre statique Application lente des charges Pas de calculs dynamiques (chocs, explosions, vibrations, séisme) DEFINITION ET PRINCIPES FONDAMENTAUX 2. PRINCIPES DE LA STATIQUE • Equilibre statique Un solide soumis à des actions (forces et couples) est en équilibre si le torseur des actions est nul : ∑ ∑ ∑ = = = 0 ; 0 ; 0 z y x F F F Résultante générale : 0 = R Moment résultant : 0 = Γ 6 composantes (3D, cartésien)           Γ Γ Γ z z y y x x actions R R R T ∑ ∑ ∑ = = = 0 ; 0 ; 0 z y x C C C L’écriture de l’équilibre aboutit ainsi à 6 équations d’équilibre 28/02/2011 2 DEFINITION ET PRINCIPES FONDAMENTAUX • Rappel : moment d’une force Moment au point A, d’une force d’intensité F de point d’application P P F A δ F AP M A ∧ = δ × = F M A DEFINITION ET PRINCIPES FONDAMENTAUX • Propriété importante Le moment d’un système de forces en équilibre peut s’écrire en n’importe quel point 0 = ∑ i i F Soit un système de forces tel que : Moment par rapport à un point A : i i i A F AP M ∧ =∑ i i i B F BP M ∧ =∑ Moment par rapport à un point B : A i i i i i i i i B M F AP F BA F AP BA M = ∧ + ∧ = ∧ + = ∑ ∑ ∑ ) ( 0 = 28/02/2011 3 DEFINITION ET PRINCIPES FONDAMENTAUX • Orientation L’écriture de l’équilibre s’écrit dans un repère orienté x y z Rx Ry Rz Γx Γy Γz Le choix de l’orientation peut être arbitraire mais celle-ci doit être constante lors de l’écriture des équations d’équilibre DEFINITION ET PRINCIPES FONDAMENTAUX • Nombre de composantes du torseur des actions           Γ Γ Γ z z y y x x actions R R R T Cas général : 6 composantes Cas particulier : système de forces dans un plan (X,Y) : 3 composantes           Γz y x actions R R T 0 0 0 y x z 28/02/2011 4 DEFINITION ET PRINCIPES FONDAMENTAUX • Les actions (ou forces extérieures) Charges permanentes : - poids propre : béton 25 kN/m3; acier : 7,85 t/m3 - équipements : faux plafonds : 50 kg/m²; canalisations Charges variables (ou d’exploitation) : - véhicules (fascicule 61) : convoi BC, convoi Br; - piétons (NFP 06-001) : 250 kg/m² (bureaux) ; - vent, neige (règles NV 85) : W = 50 daN/m²; S = 40 daN/m²; Déformations, déplacements imposés : - gradient de température : ∆θ= +/- 6°C - retrait du béton (BAEL) : ε = 2.10-4 DEFINITION ET PRINCIPES FONDAMENTAUX • Les réactions d’appuis = forces extérieures, du point de vue du solide {S} {R} Un solide S est en contact avec d’autres solides (sol, fondations, etc) par l’intermédiaire de liaisons. Tout mouvement de S bloqué par la liaison entraîne l’apparition d’une réaction d’appui Translation bloquée => force dans la direction bloquée Rotation bloquée => couple suivant l’axe de rotation bloqué 28/02/2011 5 DEFINITION ET PRINCIPES FONDAMENTAUX • Degrés de liberté en 2D 3 ddl : -Translation suivant x -Translation suivant y - Rotation autour de z x y z S Mouvements possibles de S1 par rapport à S2 : - Translation suivant x - Rotation autour de z DEFINITION ET PRINCIPES FONDAMENTAUX • Appui simple glissant (2D) Soit un solide S1 en contact avec un solide S2 Le contact est un appui simple glissant si 1 seul ddl en translation est bloqué [ ]           → 0 0 1 2 A S S V R Réaction S2 -> S1 z x y A S1 S2 VA 28/02/2011 6 DEFINITION ET PRINCIPES FONDAMENTAUX • Appui simple glissant (2D) Représentation S1 S2 Exemples • Dispositifs d’appuis pour les ponts Appui simple glissant : rotule sur rouleaux Rouleaux à faces aplaties Appui néoprène fretté Appareil d’appui à pot 28/02/2011 7 Mouvements possibles de S1 par rapport à S2 : Rotation autour de z DEFINITION ET PRINCIPES FONDAMENTAUX • Appui simple fixe (2D), rotule, articulation Soit un solide S1 en contact avec un solide S2 Le contact est un appui simple fixe si 2 ddl en translation sont bloqués [ ]           → 0 1 2 A A S S V H R Réaction S2 -> S1 z x y A S1 S2 VA HA DEFINITION ET PRINCIPES FONDAMENTAUX • Appui simple fxe (2D), rotule, articulation Représentation Exemples S1 S2 S1 S2 28/02/2011 8 DEFINITION ET PRINCIPES FONDAMENTAUX • Appui simple fxe (2D), rotule, articulation Application à grande échelle: la Digue de Monaco DEFINITION ET PRINCIPES FONDAMENTAUX • Appui simple fxe (2D), rotule, articulation Application à grande échelle: la Digue de Monaco 28/02/2011 9 DEFINITION ET PRINCIPES FONDAMENTAUX • Encastrement (2D) Soit un solide S1 en contact avec un solide S2 Le contact est un encastrement si les 3 ddl sont bloqués [ ]           → A A A S S C V H R 1 2 Réaction S2 -> S1 z x y A S1 S2 VA HA CA DEFINITION ET PRINCIPES FONDAMENTAUX • Encastrement (2D) Représentation Exemples S2 S1 28/02/2011 10 DEFINITION ET PRINCIPES FONDAMENTAUX • Les actions Forces ponctuelles Représentation par un vecteur force Unité : N, MN,t 6 t 12 t 12 t 4 m 3 m 9 m 4 m A B x y z 30 t 4 m 6 m 10 m A B x y z Schéma équivalent pour la détermination des réactions d’appui DEFINITION ET PRINCIPES FONDAMENTAUX • Les actions Charges uniformément réparties Unité : N/m, MN/m,t/m p = 100 daN/m² H = 100 m Ry C x y B B p = 100 daN/m² z y B w = 1000 daN/ml z y Schéma équivalent pour la détermination des réactions d’appui F=wH H Ry C x y B H/2 28/02/2011 11 DEFINITION ET PRINCIPES FONDAMENTAUX • Les actions Charges réparties variables Unité : N/m, MN/m,t/m Schéma équivalent pour la détermination des réactions d’appui F=0,5wH H Ry C x y B 2H/3 p = 100 daN/m² H = 100 m Ry C x y DEFINITION ET PRINCIPES FONDAMENTAUX 3. ISOSTATISME, HYPERSTATISME • structure 2D • Nombre d’équations de la statique : ns = 3 • Nombre de réactions d’appuis : r • Degré d’hyperstatisme h = r - ns = r – 3 h = 0 : structure isostatique Les équations de la statique suffisent pour déterminer les réactions d’appui. h > 0 : structure hyperstatique Les équations de la statique ne suffisent pas pour déterminer les réactions d’appui (il faudra trouver d’autres équations pour les déterminer). h < 0 : mécanisme = instabilité 28/02/2011 12 DEFINITION ET PRINCIPES FONDAMENTAUX • Exemples de structures isostatiques : h = 0 Réactions : HA, VA, VB A B A B Réactions : HA, VA, CA A B Réactions : HA, VA, VB DEFINITION ET PRINCIPES FONDAMENTAUX • Exemples de structures hyperstatiques : h > 0 h = 1 h = 3 h = 1 h = 2 28/02/2011 13 DEFINITION ET PRINCIPES FONDAMENTAUX • Exemples de mécanismes : h < 0 DEFINITION ET PRINCIPES FONDAMENTAUX • Hyperstatisme et sécurité Plus une structure est hyperstatique, ie plus elle présente de liaisons surabondantes, plus elle offre de sécurité par rapport à la défaillance d’une de ses liaisons ou une défaillance interne 28/02/2011 14 DEFINITION ET PRINCIPES FONDAMENTAUX • Hyperstatisme et sécurité Poutre isostatique Instabilité : effondrement DEFINITION ET PRINCIPES FONDAMENTAUX • Hyperstatisme et sécurité Poutre continue Stabilité encore assurée 28/02/2011 15 DEFINITION ET PRINCIPES FONDAMENTAUX • Hyperstatisme et sécurité Cœur Défense (tempête de décembre 1999) DEFINITION ET PRINCIPES FONDAMENTAUX • Hyperstatisme et sécurité Cœur Défense 28/02/2011 16 DEFINITION ET PRINCIPES FONDAMENTAUX • Hyperstatisme et sécurité Cœur Défense DEFINITION ET PRINCIPES FONDAMENTAUX • Hyperstatisme et sécurité Cœur Défense 28/02/2011 17 DEFINITION ET PRINCIPES FONDAMENTAUX • Hyperstatisme et sécurité Cœur Défense DEFINITION ET PRINCIPES FONDAMENTAUX • Hyperstatisme et sécurité Cœur Défense 28/02/2011 18 DEFINITION ET PRINCIPES FONDAMENTAUX • Hyperstatisme et sécurité Voûte de la contrejetée de Roissy CDG 2E DEFINITION ET PRINCIPES FONDAMENTAUX • Hyperstatisme et sécurité Voûte de Roissy CDG 2E Câble sous-tendeur Coque uploads/Finance/ 01principes-fondamentaux-compress.pdf