Semestre 2 - Mathématiques - DS 1 Mathématiques - Dev oir Surv eillé 1 - Corre
Semestre 2 - Mathématiques - DS 1 Mathématiques - Dev oir Surv eillé 1 - Corre tion V endredi 15 février 2018 - Durée : 1h30 T ous do uments et app ar eils éle tr oniques sont inter dits T oute r ép onse doit êtr e rigour eusement justi é e et une attention p arti ulièr e ser a p orté e à la r é da tion et à la pr ésentation. Exer i e 1 On onsidère la fon tion f : ]2, +∞[ → R x 7→ x + 1 x −2 1. Mon trer que f est une bije tion de E1 sur F1 , a v e E1 et F1 deux ensem bles à déterminer. On étudie les v ariations de f : f ′(x) = (x −2) −(x + 1) (x −2)2 = −3 (x −2)2 La dériv ée est négativ e sur l'ensem ble de dé nition. P ar ailleurs, lim x→2+ f(x) = +∞ et lim x→+∞f(x) = 1 don : x f ′(x) f(x) 2 +∞ − +∞ 1 Don f est bije tiv e de E1 =]2, +∞[ dans F1 =]1, +∞[. 2. Soit f −1 : E2 → F2 (a) Expliquer p ourquoi f admet une appli ation ré ipro que f −1 . La fon tion f est bije tiv e, de E1 dans F1 . Alle admet don une ré ipro que. (b) Déterminer les ensem bles de départ E2 et d'arriv ée et F2 de f −1 . La ré ipro que de f est dé nie sur l'ensem ble image de f don E2 = F1 =]1, +∞[ et son ensem ble image est l'ensem ble de dé nition de f don F2 = E1 =]2, +∞[. ( ) Déterminer l'appli ation ré ipro que de f . 1/6 Semestre 2 - Mathématiques - DS 1 On résout, en fon tion de y ∈]1, +∞[ : f(x) = y ⇔ x + 1 x −2 = y ⇔ x + 1 = y(x −2) ⇔ x + 1 = yx −2y ⇔ x −yx = −2y −1 ⇔ x(1 −y) = −2y −1 ⇔ x = −2y −1 1 −y Don la ré ipro que de f est : f −1(x) = −2x −1 1 −x = 2x + 1 x −1 . 3. Déterminer g tel que g ◦f(x) = ln(x). On sait que f −1 ◦f(x) = x don ln ◦f −1 ◦f(x) = ln(x). La fon tion g(x) = ln (f −1(x)) = ln 2x + 1 x −1 rép ond don à la question. Exer i e 2 1. Représen ter les fon tions suiv an tes : (a) f1(t) = 2U(t + 1) −U(t) −U(t + 2) = −U(t + 2) + 2U(t + 1) −U(t) 1 2 3 −1 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4 (b) f2(t) = U(−1 −t) + U(t + 1). La fon tion t 7→U(−1 −t) v aut 1 si et seulemen t si −1 −t ≥0 ⇔t ≤−1 . Don son graphe est 1 2 3 −1 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4 Don le graphe de la fon tion f2 est 2/6 Semestre 2 - Mathématiques - DS 1 1 2 3 −1 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4 bc b ( ) f3(t) = tU(t) −(t −1)U(t −1) + (t −2)U(t −2) −(t −3)U(t −3) 1 2 3 −1 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4 2. Déterminer l'é riture de la fon tion suiv an te à l'aide de fon tions é helons : 1 2 3 −1 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4 P ar le ture graphique on obtien t : f(t) = 0 si t < −1 2 si t ∈[−1; 1[ −3t + 5 si t ∈[1; 2[ −1 si t ≥2 Don f(t) = 2U(t + 1) + (−3t + 3)U(t −1) + (3t −6)U(t −2) Exer i e 3 Les questions suiv an tes son t indép endan ts : 3/6 Semestre 2 - Mathématiques - DS 1 1. La matri e A = 1 2 −3 −3 et la matri e B = −1 2 1 −1 son t-elles l'in v erse l'une de l'autre ? Cal ulons le pro duit de A par B : A × B = 1 2 −3 −3 × −1 2 1 −1 = 1 0 0 −3 Le pro duit n'est pas égal à l'iden tité. Don les matri es ne son t pas l'in v erse l'une de l'autre. 2. Soit la matri e C = 2 0 −3 −3 4 5 . Existe-t-il une matri e D telle que C × D et C + D existen t ? P our que la somme C+D existe il faut que D ait les mêmes dimensions que C don : D ∈M2,3(R). Or, on ne p eut pas m ultiplier une matri e de taille 2 × 3 par une autre matri e de taille 2x3 . Don , non une telle matri e n'existe pas. 3. Soit la matri e E = 0 1 1 2 0 5 1 2 4 (a) Déterminer a , b et c p our que F = a −2 5 −3 b 2 4 c −2 soit l'in v erse de E . Il faut que les pro duits E × F et F × E soien t égaux à l'iden tité. Le o e ien t ligne 2, olonne 1 de E × F v aut : 2a + 20 . Or il doit être n ul. Don a = −10 . Le o e ien t ligne 2, olonne 1 de F × E v aut : 2b + 2 . Or il doit être n ul. Don b = −1 . Le o e ien t ligne 3, olonne 1 de F × E v aut : 2c −2 . Or il doit être n ul. Don c = 1 . La matri e in v erse de E est don : F = −10 −2 5 −3 −1 2 4 1 −2 (b) En déduire les solutions du système : y +z = 1 2x +5z = 1 x +2y +4z = 6 Le système linéaire p eut s'é rire sous forme matri iel : E × x y z = 1 1 6 . P our le résoudre il su t don de al uler x y z = E−1 × 1 1 6 = F × 1 1 6 = −10 −2 5 −3 −1 2 4 1 −2 × 1 1 6 = 18 8 −7 La solution du système est (18, 8, −7). Exer i e 4 1. Soit f et g les fon tions représen tées sur le graphique i-dessous. 4/6 Semestre 2 - Mathématiques - DS 1 2 4 6 −2 2 4 6 8 −2 g f Cal uler f ◦g(1), f ◦g(2) et f ◦g(3). Ces résultats étaien t-ils prévisibles ? Graphiquemen t on p eut lire g(1) = −1 . Don f ◦g(1) = f(−1) = 1 . De même : g(2) = 0 don f ◦g(2) = f(0) = 2 ; et g(3) = 3 don f ◦g(3) = f(3) = 3 ; On remarque que p our es 3 v aleurs on a f ◦g(x) = x . Ce i était prévisible ar on observ e que les ourb es de f et g son t la symétrie l'une de l'autre par rapp ort à la droite d'équation y = x ; on a don f −1 = g et don , p our tout x ∈Dg : f ◦g(x) = x . 2. On onsidère les fon tions f(t) = t2 −2t + 1 ; g(t) = √ t + 1 ; h(t) = ln(t) (a) Soit t > 0 . Que v aut f ◦g(t) ? On a f ◦g(t) = (g(t))2−2g(t)+1 = ( √ t+1)2−2( √ t+1)+1 = ( √ t)2+2 √ t+1−2 √ t−2+1 = ( √ t)2 Or t > 0 , don f ◦g(t) = t . (b) Soit t > 0 . Que v aut g ◦f ◦h(t) ? On déduit de la question pré éden t que g est la ré ipro que de f . Don g ◦f(t) = t . Don , p our tout t > 0 on a g ◦f ◦h(t) = h(t) = ln(t) Exer i e 5 Cal uler : 1. arccos cos π 3 . arccos cos π 3 = π 3 ar uploads/Finance/ 1819-s2-ds1cor.pdf
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- Publié le Fev 19, 2022
- Catégorie Business / Finance
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