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www.scholarvox.com:ESG Finance:740355549:88833760:82.226.121.81:1560334117 2e édition Mathématiques financières manuel L ’essentiel du cours Exercices corrigés Sujet d’examen Benjamin Legros www.scholarvox.com:ESG Finance:740355549:88833760:82.226.121.81:1560334117 © Dunod, Paris, 2016 ISBN 978-2-10-074779-5 Dans la même collection Augé B., Naro G., Mini Manuel de Contrôle de gestion, 2011 Augé B., Naro G., Vernhet A., Mini Manuel de Comptabilité de gestion, 2013 Collain B., Déjean F., Le Theule M.-A., Mini Manuel de Comptabilité générale, 2e ed., 2014 Legros B., Mini Manuel de Mathématiques pour la gestion, 2011 Legros B., Mini Manuel de Mathématiques financières, 2e éd., 2014 Kruger A, Ferrandi J.-M., Carpentier L., Mini Manuel de Marketing, 2e éd., 2016 Védie H.-L., Mini Manuel d’Économie industrielle, 2012 www.scholarvox.com:ESG Finance:740355549:88833760:82.226.121.81:1560334117 Partie 1 Les modèles financiers 1 Études de suites 3 1.1 Suites arithmétiques 4 1.2 Suites géométriques 8 1.3 Suites arithmético-géométriques 12 Points clés 14 Exercices 15 Solutions 16 2 Intérêts simples et escompte 23 2.1 Mode de calcul des intérêts simples 24 2.2 Placements de courtes durées 25 2.3 Versements constants 29 2.4 Calcul du taux moyen 31 2.5 Exemples de livrets d’épargne 32 2.6 Effet de commerce et escompte 33 2.7 Calcul de l’escompte 34 2.8 Équivalence de capitaux 35 2.9 Intérêts précomptés 36 2.10 Contrat à terme d’achat ou de vente de devises 38 Points clés 41 Exercices 43 Solutions 46 Table des matières www.scholarvox.com:ESG Finance:740355549:88833760:82.226.121.81:1560334117 3 Intérêts composés 57 3.1 Calcul des intérêts composés 57 3.2 Taux proportionnels et taux équivalents 61 3.3 Versements constants 62 Points clés 70 Exercices 72 Solutions 75 4 Emprunts indivis 89 4.1 Principe général 90 4.2 Modes de remboursement classiques 96 4.3 Remboursements évolutifs 102 Points clés 106 Exercices 108 Solutions 110 Partie 2 Les projets d’investissement 5 Outils d’évaluation d’un investissement 121 5.1 Éléments d’analyse d’un projet d’investissement 119 5.2 Comparaison de deux projets d’investissement 129 5.3 Prise de décision en avenir incertain 128 Points clés 136 Exercices 138 Solutions 140 6 Emprunts obligataires 147 6.1 Principe de fonctionnement 148 6.2 Tableaux d’amortissement pour les obligations à taux fixe 153 6.3 Analyse du risque 159 Points clés 163 Exercices 165 Solutions 167 VI Table des matières www.scholarvox.com:ESG Finance:740355549:88833760:82.226.121.81:1560334117 7 Valeur des actions 179 7.1 Mode d’évaluation 180 7.2 Risque et rentabilité 185 7.3 Gestion de la diversification 189 Points clés 193 Exercices 195 Solutions 197 Sujet d’examen 201 Index 213 Table des matières VII © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. www.scholarvox.com:ESG Finance:740355549:88833760:82.226.121.81:1560334117 La page d’entrée de chapitre Elle donne le plan du cours, ainsi qu’un rappel des objectifs pédagogiques du chapitre. Le cours Le cours, concis et structuré, expose les notions importantes du programme. Les rubriques Une erreur à éviter Un peu de méthode Les points clés à retenir Les exercices Ils sont proposés en fin de chapitre, avec leur solution, pour se tester tout au long de l’année. Le sujet d’examen Situé à la fin de l’ouvrage, il permet de s’entraîner dans les conditions de l’examen. Comment utiliser le Mini Manuel ? − www.scholarvox.com:ESG Finance:740355549:88833760:82.226.121.81:1560334117 Études de suites .............................................................. 3 Intérêts simples et l’escompte ....................................23 Intérêts composés ........................................................ 57 Emprunts indivis .......................................................... 89 1 PARTIE Les modèles financiers Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 4 Comment évaluer un placement financier ? Que représente un gain à venir dans le bilan d’une entreprise ? Que représente un taux d’intérêt ? Quels mécanismes déterminent un emprunt ? La première partie de cet ouvrage a vocation à modéliser les aspects essentiels du calcul financier.Les modèles présentés sont appliqués des différents points de vue du particulier, de l’entreprise ou de la banque. Le premier chapitre « Les suites » est le fondement mathématique nécessaire à la compréhension des formules de la finance.Ses résultats mathématiques vont se trouver dans l’ensemble du livre. Le second chapitre « Intérêts simples et Escompte » permet d’estimer les place- ments de durées courtes sur des comptes réglementés du type Livret A. Il permet aussi d’appréhender le fonctionnement de l’escompte pour les entreprises. Le troisième chapitre « Intérêts composés » présente le calcul des placements de longues durées et de l’actualisation. Une application essentielle de ce chapitre est le calcul des rentes qui permet de concevoir le fonctionnement d’une retraite par capitalisation. Le quatrième chapitre « Emprunts Indivis » modélise les échanges financiers entre le préteur et l’emprunteur avec une mise en place des aspects comptables de l’emprunt. www.scholarvox.com:ESG Finance:740355549:88833760:82.226.121.81:1560334117 www.scholarvox.com:ESG Finance:740355549:88833760:82.226.121.81:1560334117 Considérons la suite 2 ; 5 ; 8 ; 11... On devine assez simplement le terme suivant : 14. On a observé un ajout de 3 pour calculer un terme à partir du précédent et l’on a conclu que le phénomène allait se poursuivre ensuite. Un autre exemple : 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13... Le phénomène est moins simple ici. On remarque qu’un terme est égal à la somme des deux précédents. Ainsi le terme suivant sera 21 et il est possible de calculer l’ensemble des termes qui suivent. Ces exemples peuvent sembler gratuits, mais ils démontrent tout l’inté- rêt des suites : le caractère prédictif. Ce caractère prédictif est essentiel en finance. En effet, qu’il s’agisse du remboursement d’un emprunt ou de gains réalisés par un placement, l’important est de pouvoir chiffrer au mieux les mouvements de capitaux à venir. Les suites se trouvent donc dans l’ensemble des thèmes abordés dans cet ouvrage. Ce chapitre pré- sente les résultats essentiels sur les suites les plus utilisées en finance : les suites arithmétiques et les suites géométriques. 1 CHAPITRE Études de suites 1.1 Suites arithmétiques 1.2 Suites géométriques 1.3 Suites arithmético-géométriques PLAN ➤Savoir définir une suite arithmétique et une suite géométrique. ➤Trouver la raison et le terme général d’une suite arithmétique et d’une suite géométrique. ➤Connaître la formule de la somme des termes d’une suite. ➤Comprendre le fonctionnement des suites arithmético-géométriques. ➤Utiliser le logarithme lors d’une recherche de durée. ➤Modéliser un phénomène par une suite arithmétique ou une suite géo- métrique. OBJECTIFS www.scholarvox.com:ESG Finance:740355549:88833760:82.226.121.81:1560334117 1.1 SUITES ARITHMÉTIQUES a) Définition d’une suite arithmétique Considérons la suite 2 ; 4 ; 6 ; 8... On observe un ajout de 2 pour calculer un terme à partir du précédent. 4 Chapitre 1 • Études de suites + 2 + 2 + 2 + 2 2 4 6 8 10 Ce nombre qui permet de calculer un terme à partir du précédent s’ap- pelle la raison de la suite arithmétique. La notation d’usage de la rai- son d’une suite arithmétique est r. Formalisons le phénomène en notant u0 le premier terme, u1 le second, u2 le troisième et ainsi de suite. On calcule un terme à partir du précé- dent selon le schéma suivant : + r + r + r + r 0 u 1 u 2 u 3 u 4 u Ainsi, la définition d’une suite arithmétique est donnée par la relation : un+1 = un + r Cette relation suffit complètement à définir une suite arithmétique si l’on dispose d’un des termes de la suite. Dans l’exemple précédent, la connaissance de « u0 = 2 » et de la relation « un+1 = un + 2 » permet de calculer pas à pas l’ensemble des termes de la suite. b) Comment calculer simplement un terme d’une suite arithmétique ? La relation précédente ne permet pas de calculer rapidement un terme d’une suite arithmétique. Si l’on souhaite calculer le 50e terme, il est nécessaire de connaître le 49e qui, lui-même, se calcule à partir du 48e et ainsi de suite. Ainsi, pour atteindre le 50e terme, il sera nécessaire www.scholarvox.com:ESG Finance:740355549:88833760:82.226.121.81:1560334117 d’effectuer un grand nombre de calculs. C’est pour cela qu’il est essen- tiel de mettre en place une formule générale qui fournit n’importe quel terme indépendamment du précédent. Pour construire cette formule, on peut partir de la définition suivante pour calculer u1 : u1 = u0 + r De même pour calculer u2 : u2 = u1 + r = (u0 + r) + r = u0 + 2 × r Puis : u3 = u2 + r = (u0 + 2 × r) + r = u0 + 3 × r Ces premiers résultats induisent une formule générale : un = u0 + n × r Remarque : la démarche présentée induit la formule mais n’a pas valeur de démonstration mathématique. Une démonstration rigoureuse utilise- rait le principe de récurrence. Si l’on ne dispose pas du terme u0 mais d’un autre terme uk, le terme général d’une suite arithmétique est donné par la relation suivante : un = uk + (n −k) × r Exemple Cherchons le terme général de la suite arithmétique de raison 3 sachant que u5 = 22. Par application de la formule précédente avec k = 5, on trouve : un = u5 + (n −5) × 3 = 22 + (n −5) × 3 = 22 + 3 × n −15 = 7 + 3 × n c) Représentation graphique et sens de variation Les termes successifs d’une suite arithmétique peuvent être représentés graphiquement. Les points représentés sont alignés sur une droite de pente r et d’ordonnée à l’origine uploads/Finance/ 3 .pdf