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Chapitre 8 – Relations trigonométriques dans le triangle rectangle On considère

Chapitre 8 – Relations trigonométriques dans le triangle rectangle On considère un triangle ABC rectangle en C. On appelle a et b les mesures respectives des angles BAC et ABC. Rappel : les angles BAC et ABC sont complémentaires (la somme de leurs mesures égale 90°). 1- Vocabulaire Le côté [ AC ] du triangle ABC est appelé côté adjacent à l'angle BAC. Le côté [ BC ] du triangle ABC est appelé côté opposé à l'angle BAC. Remarque * le côté opposé à ABC est le côté adjacent à BAC; * le côté adjacent à ABC est le côté opposé à BAC. 2- Définitions Dans un triangle rectangle, on appelle cosinus d'un angle aigu le rapport du côté adjacent à l'angle et de l'hypoténuse. Exemple et notation : cos a = AC AB . Dans un triangle rectangle, on appelle sinus d'un angle aigu le rapport du côté opposé à l'angle et de l'hypoténuse. Exemple et notation : sin a = BC AB . Dans un triangle rectangle, on appelle tangente d'un angle aigu le rapport du côté opposé à l'angle et du côté adjacent à l'angle. Exemple et notation : tan a = BC AC . A B C a hypoténuse côté adjacent à l'angle a côté opposé à l'angle a c) Calcul d'un angle : méthode et rédaction On considère un triangle ABC rectangle en C tel que : AB = 11 cm ; BC = 4 cm . Calculer la mesure de l'angle BAC. On cherche la mesure de l'angle en A pour lequel on connaît la mesure du côté opposé [BC] et la longueur de l'hypoténuse [AB] : on peut donc utiliser le sinus de l'angle. Dans le triangle ABC, rectangle en C, on a : sinBAC = BC AB = 4 11 Donc : BAC = arcsin( 4 11) (étape facultative) En utilisant la calculatrice, on obtient : ̂ BAC ≈21° d) Calcul d'une longueur : méthode et rédaction * 1 er exemple On considère un triangle KLM rectangle en M tel que : KL = 9 cm ; KLM = 40°. Calculer la longueur LM. On connaît la mesure de l'angle en L et la longueur de l'hypoténuse [KL] et on cherche la longueur de [LM], côté adjacent à cet angle : on peut donc utiliser le cosinus de l'angle. Dans le triangle KLM, rectangle en M, on a : cos KLM = LM LK Donc : LM = LK × cos KLM = 9 × cos40° En utilisant la calculatrice, on obtient : LM ≈ 6,9 cm . * 2 ème exemple On considère un triangle RST rectangle en S tel que : ST = 12 cm ; TRS = 65°. Calculer la longueur RS. On connaît la mesure de l'angle en R et la longueur de [ST], côté opposé à cet angle et on cherche la mesure de [RS], côté adjacent à cet angle : on peut donc utiliser la tangente de l'angle. Dans le triangle RST, rectangle en S, on a : tan TRS = ST RS Donc : RS = ST tan ̂ TRS = 12 tan 65° En utilisant la calculatrice, on obtient : RS ≈ 5,6 cm . e) Propriétés * Valeurs limites du cosinus et du sinus Pour tout angle a aigu : 0 < cos a < 1 et 0 < sin a < 1 Démonstration : évidente d'après la définition car l'hypoténuse est le plus grand côté du triangle. * Angles complémentaires Si a et b sont deux angles aigus complémentaires, alors : cos a = sin b et tan a × tan b = 1 . Démonstration 1 : évidente d'après la définition. Démonstration 2 : tana × tanb = BC AC × AC BC = 1 CQFD ! * Liens entre les relations trigonométriques Pour tout angle a aigu : cos² a + sin² a = 1 et tana = sin a cos a Démonstration 1 : Dans le triangle ABC rectangle en C, d'après la propriété de Pythagore : AB² = AC² + BC² . Donc : cos ² a sin ² a = AC AB 2  BC AB 2 = AC² BC² AB² = AB² AB² = 1 CQFD ! Démonstration 2 : sin a cos a = BC AB AC AB = BC AB × AB AC = BC AC = tan a CQFD ! uploads/Finance/ 3e-ch8-trigonometrie-cours.pdf