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´ Ecole Normale Sup´ erieure 1` ere ann´ ee Ann´ ee 2015-2016 Alg` ebre 1 TD2 :

´ Ecole Normale Sup´ erieure 1` ere ann´ ee Ann´ ee 2015-2016 Alg` ebre 1 TD2 : Actions de groupes et th´ eor` emes de Sylow Exercices ⋆: ` a pr´ eparer ` a la maison avant le TD, seront corrig´ es en d´ ebut de TD. Exercices ⋆⋆: seront trait´ es en classe en priorit´ e. Exercices ⋆⋆⋆: plus diﬃciles. Exercice 1 : ⋆ Soit p un nombre premier. a) Montrer qu’un groupe de cardinal p2 est commutatif. b) Combien d’´ el´ ements d’ordre p y a-t-il dans un groupe de cardinal p ? Et dans un groupe de cardinal p2 ? Solution de l’exercice 1. a) Soit G un groupe d’ordre p2. L’´ equation aux classes pour l’action de G sur lui-mˆ eme par conju- gaison assure que le centre Z de G n’est pas r´ eduit ` a l’´ el´ ement neutre. Donc G/Z est de cardinal 1 ou p. Dans le second cas, le groupe G/Z est donc cyclique, ce qui assure que G est commutatif (voir la feuille de TD1, exercice 9). En outre, si G admet un ´ el´ ement d’ordre p2, alors G est cyclique et isomorphe ` a Z/p2Z. Si G n’admet pas de tel ´ el´ ement, alors tous ses ´ el´ ements autres que le neutre sont d’ordre p. En choisissant x ∈G \ {e} et y ∈G \ ⟨x⟩, on voit que G = ⟨x, y⟩ est isomorphe ` a Z/pZ × Z/pZ. b) Dans un groupe de cardinal p, tout ´ el´ ement autre que le neutre est d’ordre p (1 et p sont les seuls diviseurs positifs de p). Donc un tel groupe admet p −1 ´ el´ ements d’ordre p. Soit G un groupe d’ordre p2. Si G est cyclique engendr´ e par x, on voit que xn est d’ordre p si et seulement si p divise n et p2 ne divise pas n. Cela assure que les ´ el´ ements d’ordre p sont exactement les xpr, avec r = 1, . . . , p −1. Ils sont donc en nombre de p −1. Si G n’est pas cyclique, tous les ´ el´ ements autres que le neutre sont d’ordre p, donc G contient p2 −1 ´ el´ ements d’ordre p. Exercice 2 : ⋆ Soit G un groupe ﬁni agissant sur un ensemble ﬁni X. En consid´ erant l’ensemble E := {(g, x) ∈G × X : g · x = x} , calculer le nombre moyen de point ﬁxes d’un ´ el´ ement de G. Que dire en particulier si l’action est transitive ? Que dire de la moyenne du nombre de points ﬁxes d’une permutation al´ eatoire ? Solution de l’exercice 2. On calcule le cardinal de E de deux fa¸ cons diﬀ´ erentes : |E| = X g∈G |Fix(g)| et |E| = P x∈X|StabG(x)| = P x∈X/G P y∈x|StabG(y)| = P x∈X/G|x|.|StabG(x)| = |G|.|X/G| , o` u on note Fix(g) := {x ∈X : g · x = x} l’ensemble des points ﬁxes de g dans X. On en d´ eduit donc l’´ egalit´ e X g∈G |Fix(g) = |G|.|X/G| , 1 i.e. 1 |G| X g∈G |Fix(g)| = |X/G| . Cela signiﬁe que le nombre moyen de points ﬁxes d’un ´ el´ ement de G est exactement |X/G|, i.e. le nombre d’orbites de l’action. En particulier, si l’action est transitive, ce nombre vaut 1. Par exemple, si G = Sn agit (via l’action ´ evidente) sur X = {1, . . . , n}, alors on voit que le nombre moyen de points ﬁxes d’une permutation est exactement 1. Exercice 3 : (Lemme de Cauchy) ⋆ Soit G un groupe ﬁni et soit p un nombre premier divisant le cardinal de G. En utilisant une action convenable de Z/pZ sur l’ensemble X = {(g1, . . . , gp) ∈Gp | g1 · · · gp = 1} prouver que G admet un ´ el´ ement d’ordre p (sans utiliser les th´ eor` emes de Sylow !). Solution de l’exercice 3. On peut indicer un ´ el´ ement de X (qui est un p-uplets d’´ el´ ements de G) par les ´ el´ ements de Z/pZ. On consid` ere l’action de H = Z/pZ sur l’ensemble X d´ eﬁnie, pour k ∈H et x = (g1, . . . , gp) ∈X, par h · x := (g1+k, . . . , gp+k) , o` u les indices des gi sont pris dans le groupe H = Z/pZ. V´ eriﬁons que pour tout k ∈H et x ∈X, h · x ∈X. Pour cela, on doit v´ eriﬁer que si g1 . . . gp = 1 implique que g1+k . . . gp+k = 1. Ceci est clair via le calcul suivant : si g1 . . . gp = 1, on a g2 . . . gp = g−1 1 , donc g2 . . . gpg1 = 1, et donc par r´ ecurrence, on a gk+1 . . . gpg1 . . . gk = 1. Donc la formule pr´ ec´ edente d´ eﬁnit bien une action de H sur X. L´ equation aux classes s’´ ecrit alors |X| = |XH| + X x∈X/Hx/ ∈XH [H : Hx] . Or H est de cardinal p, donc Hx est n´ ecessairement le groupe trivial si x / ∈XH. D’o` u |X| = |XH| + p|X/H \ XH| . Or il est clair que |X| = |G|p−1, donc |X| est divisible par p. L’´ equation aux classes assure donc que p divise |XH|. Or XH ̸= ∅car (1, . . . , 1) ∈XH, donc il existe un ´ el´ ement de XH distinct de (1, . . . , 1). Un tel ´ el´ ement est de la forme (g, . . . , g) ∈Gp pour un certain g ∈G \ {1}. Par d´ eﬁnition de X, on a donc gp = 1 et g ̸= 1, ce qui assure que g est d’ordre p dans G. Exercice 4 : ⋆ Combien y a-t-il de colliers diﬀ´ erents form´ es de 9 perles dont 4 bleues, 3 blanches et 2 rouges ? Solution de l’exercice 4. On repr´ esente un collier par un cercle du plan euclidien orient´ e R2 (de centre 0 et rayon 1) muni de neuf points A1, . . . , A9 dispos´ es ` a intervalles r´ eguliers. On choisit de dire que deux colliers sont ´ equivalents (ce sont les ”mˆ emes” colliers) si et seulement si on peut obtenir l’un ` a partir de l’autre en eﬀectuant une rotation plane du collier ou en le retournant (comme une crˆ epe) dans l’espace de dimension 3. Autrement dit, l’ensemble X de tous les colliers possibles ` a 9 perles dont 4 bleues, 3 blanches et 2 rouges, est muni d’une action du groupe di´ edral G = D9 des isom´ etries d’un polygˆ one r´ egulier ` a neuf cˆ ot´ es. Ce groupe G est donc un sous-groupe de SO2(R), il est de cardinal 18 et ses ´ el´ ements sont les suivants : G = {id, r, r2, r3, r4, r5, r6, r7, r8, s, r ◦s, r2 ◦s, r3 ◦s, r4 ◦s, r5 ◦s, r6 ◦s, r7 ◦s, r8 ◦s} , 2 o` u r est la rotation de centre O et d’angle 2π 9 et s est la sym´ etrie orthogonale d’axe ∆= (OA1). En particulier, G contient 9 rotations et 9 sym´ etries orthogonales. Au vu de la discussion pr´ ec´ edente, le nombre de colliers diﬀ´ erents est exactement le nombre d’orbites dans l’action de G sur X, i.e. |X/G|. On calcule ce nombre grˆ ace ` a la formule d´ emontr´ ee ` a l’exercice 2 : |X/G| = 1 |G| X g∈G |Fix(g)| . Calculons maintenant Fix(g) pour tout g ∈G : soit g ∈G. – Si g = id, il est clair que Fix(g) = X. – Si g = r, r2, r4, r5, r7, r8, alors le sous-groupe de G engendr´ e par g est constitu´ e des 9 rotations (rk engendre ce sous-groupe si et seulement si k est premier avec 9). Donc un collier ﬁxe par g est ﬁxe par r, ce qui implique que toutes les perles sont de la mˆ eme couleur. Ceci n’est pas possible, donc Fix(g) = ∅. – Si g = r3, r6, alors dans un collier ﬁxe par g, le nombre de perles d’une couleur donn´ ee doit ˆ etre un multiple de 3, ce qui n’est pas le cas dans l’ensemble X, donc Fix(g) = ∅. – Si g est une sym´ etrie, on peut supposer g = s, les autres cas ´ etant identiques. Puisque l’axe ∆de g ne contient qu’une perle (A1 en l’occurence), dans un collier ﬁxe par g, les perles Ai, i ̸= 1 vont par paire de mˆ eme couleur. Cela assure que la perle A1 est n´ ecessairement blanche. Se donner un collier ﬁxe par g uploads/Finance/ algebre1-td2-corrige-pdf.pdf