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Chapitre 3 MÉTHODE GÉNÉRALE DE CALCUL POUR LES ÉCHANGEURS Si tous ceux qui croi

Chapitre 3 MÉTHODE GÉNÉRALE DE CALCUL POUR LES ÉCHANGEURS Si tous ceux qui croient avoir raison n’avaient pas tort, la vérité ne serait pas loin. Pierre DAC Le calcul des échangeurs de configurations diverses a longtemps été calqué sur celui des échangeurs à courants parallèles, à grand renfort de termes correctifs d’origine expérimentale. Il existe pourtant une méthode plus structurée et beaucoup plus riche dans ses applications, la méthode NUT. C’est elle que nous utiliserons exclusivement dans la suite. 3.1. – FLUX THERMIQUE MAXIMUM DANS UN ÉCHANGEUR ♣ Supposons qu’il ne se produise aucune perte de chaleur externe : la puissance thermique échangée Φ peut être calculée indifféremment en faisant un bilan enthalpique global sur l’un ou l’autre des fluides : ) T T ( q ) T T ( q fe fs tf cs ce tc − = − = Φ (3.1) où p m t C q q = : débit thermique unitaire (avec indice c pour le fluide chaud et f pour le fluide froid). ‹ Nous avons déjà observé (§ 2.2.♣) que le fluide qui a le plus petit débit thermique unitaire accuse le changement de température le plus important. La plage de variation des températures dans l’échangeur étant généralement limitée par des contraintes pratiques, c’est donc de lui que dépend la quantité de chaleur maximale qui pourra être échangée, et l’on dit d’une manière imagée qu’il « commande le transfert ». L’expression a cependant l’inconvénient d’introduire une apparence de dissymétrie entre les rôles des deux fluides, et il faut se garder de la prendre au pied de la lettre. ♦ Jusqu’à quelle valeur max T ∆ peut aller cet écart de température ? L’examen des courbes ) S ( f T = étudiées pour les échangeurs à courants parallèles va servir de support pour répondre à cette question. Avec l’échangeur co-courant (fig. 2.2, § 2.2), l’écart maximum des températures dans l’appareil est : fe ce max T T T − = ∆ On voit sur la figure que cette variation ne peut être subie par aucun des deux fluides. Dans le cas de l’échangeur à contre-courant avec tf tc q q < , la figure 2.4 (§ 2.3.2) montre que : ∞ − = T T T ce max ∆ et que ce max T ∆ peut être atteint par le fluide chaud si la surface est infiniment grande. Comme fe T T → ∞ si ∞ → Σ , on a donc : fe ce max T T T − = ∆ (3.2a) Enfin, avec un échangeur à contre-courant où tc tf q q < , on constate sur la figure 2.5 (§ 2.3.3) que l’écart maximum a pour valeur : fe max T T T − = ∞ ∆ et qu’il peut cette fois être atteint par le fluide froid si la surface d’échange tend vers l’infini. Là encore, puisque ce T T → ∞ quand ∞ → Σ , on a : fe ce max T T T − = ∆ (3.2b) Dans les deux derniers exemples, le max T ∆ est donc accessible au fluide qui possède le plus petit débit thermique unitaire, soit min t q , pourvu que la surface d’échange soit très grande. Le flux maximum transférable est donc : max min t max T q ∆ Φ = (3.3) ) T T ( q fe ce min t max − = Φ (3.4) ♥ Dans tous les autres cas, quelque soit le modèle d’échangeur, on voit aisément qu’aucun des fluides ne peut subir une variation de température supérieure à fe ce T T − , car alors il faudrait que le fluide froid sorte à une température supérieure à ce T , ou que le fluide chaud sorte à une température inférieure à fe T . Ceci est physiquement impossible, car ce serait une violation du second principe de la thermodynamique. La relation (3.4) a donc une valeur générale. 3.2. – EFFICACITÉ THERMIQUE D’UN ÉCHANGEUR ♣ Pour caractériser les performances thermiques d’un échangeur, la démarche la plus naturelle paraît être de comparer sa puissance thermique Φ avec le flux maximum max Φ précédemment défini. On appelle « efficacité thermique » E de l’échangeur le rapport max / Φ Φ , qui est évidemment sans dimension : max E Φ Φ = 1 E 0 ≤ ≤ (3.5) d’où, d’après (3.1) : ) T T ( q ) T T ( q ) T T ( q ) T T ( q E fe ce min t fe fs tf fe ce min t cs ce tc − − = − − = (3.6) ‹ Il est à noter que sous l’une ou l’autre forme, la définition de E ne prend en compte que trois des quatre températures concernées. En d’autres termes, trois quelconques des températures d’entrée-sortie suffisent à caractériser E. Par ailleurs, d’après le paragraphe précédent, l’efficacité maximale 1 Emax = est atteinte si l’échangeur est à contre-courant, infiniment long et sans pertes. ♦ Introduisons deux nouvelles grandeurs sans dimension : = − − = fe ce cs ce c T T T T E efficacité relative côté fluide chaud (3.7) = − − = fe ce fe fs f T T T T E efficacité relative côté fluide froid (3.8) Il existe une relation simple entre c E et f E . Soit R le rapport des débits thermiques unitaires, que l’on appelle encore « facteur de déséquilibre » : max t min t q q R = (3.9) L’ensemble des cas possibles se subdivise en deux : • Ou bien tc min t q q = Alors, d’après les relations (3.6) à (3.8), on a : f fe ce cs ce c E R 1 T T T T E E = − − = = cs ce fe fs c f T T T T E E R − − = = (3.10) • Ou bien tf min t q q = et l’efficacité vaut : c fe ce fe fs f E R 1 T T T T E E = − − = = fe fs cs ce f c T T T T E E R − − = = (3.11) ♥ Cette efficacité thermique E va servir en particulier à exprimer le flux thermique Φ dans l’échangeur, en se reportant à la définition (3.5) : max E Φ Φ = d’où si l’on tient compte de (3.4) : ) T T ( q E fe ce min t − = Φ (3.12) formule qui présente l’avantage de ne faire intervenir que les températures d’entrée des fluides. 3.3. – NOMBRE D’UNITÉS DE TRANSFERT : NUT Au chapitre 2, en calculant les écarts de températures d’entrée-sortie dans les échangeurs à courants parallèles, nous avons vu apparaître les rapports tc q / k Σ et tf q / k Σ , dont on vérifie aisément qu’ils sont sans dimension. Ces nombres, représentatifs du pouvoir d’échange de l’appareil, sont appelés « nombres d’unités de transfert » et notés c NUT côté fluide chaud ou f NUT côté fluide froid : tf f tc c q k NUT ; q k NUT Σ Σ = = (3.13) Le nombre d’unités de transfert relatif au fluide qui possède le plus petit débit thermique unitaire min t q est habituellement désigné par NUT (sans indice) : min t q k NUT Σ = (3.14a) Nous allons montrer qu’il joue un rôle essentiel dans la modélisation des échangeurs, car l’efficacité E va pouvoir être exprimée en fonction de R et de NUT. ‹ Mais auparavant, attardons-nous un instant sur le numérateur du NUT. Ce produit Σ k s’exprime comme le débit thermique unitaire t q en W/°C et représente donc la « puissance thermique unitaire » de l’échangeur, c’est-à-dire la puissance rapportée à un écart de température moyen fluide chaud – fluide froid de un degré. À l’usage, ce n’est pas cette expression qui a prévalu, mais celle de « conductance globale de l’échangeur », notée K. En effet, une conductance, qui est l’inverse d’une résistance thermique, s’exprime en C . m / W 2 ° , d’où la conductance globale en W/°C. Nous la retrouverons au chapitre 6. En attendant, enregistrons donc que NUT se note également : Σ k K ; q / K NUT min t = = (3.14b) 3.4. – ÉTUDE DE LA FONCTION ) NUT , R ( E E = Dans un but didactique, nous effectuons le calcul complet de l’efficacité E en fonction de NUT pour les échangeurs à courants parallèles et à une passe sur chaque fluide. Les résultats concernant d’autres catégories usuelles sont donnés sans démonstration dans le tableau 3.1. 3.4.1. – Échangeur co-courant Partons de l’expression générale (2.32) de la puissance dans un échangeur à courants parallèles : tf tc tf tc a q 1 q 1 k q 1 q 1 exp 1 T ±                   ± − − = uploads/Finance/ chapitres-3-methode-de-calcul.pdf