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Fiche Suites — Méthodes et Annales — http://exos2math.free.fr/ Savoir utiliser

Fiche Suites — Méthodes et Annales — http://exos2math.free.fr/ Savoir utiliser le principe de récurrence. Rappel de cours Théorème (Principe de récurrence) Soit P(n) une proposition mathématique qui dépend d’un entier naturel n. Soit n0 un entier naturel. Si P(n0) est vraie, et si, pour tout entier naturel n ≥n0 donné, P(n) vraie implique P(n + 1) vraie alors pour tout entier naturel n ≥n0 : P(n) est vraie. Méthode Le raisonnement par récurrence comporte deux étapes distinctes : • Initialisation : on montre que la proposition P(n0) est vraie. Le plus souvent n0 = 0 mais faites attention : c’est bien le premier entier pour lequel on déﬁnit la proposition P(n). • Hérédité (ou transmission) : on suppose qu’il existe un entier naturel naturel n, tel que P(n) soit vraie (c’est l’hypothèse de récurrence) et on montre que P(n + 1) est vraie, c’est à dire P(n) vraie = ⇒P(n + 1) vraie. Remarque : La rédaction est imposée. Cela signiﬁe que vous devriez apprendre la formulation par coeur. Exercice 1 (France 2013) Soit la suite numérique (un) déﬁnie sur N par : u0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+1 = 2 3un + 1 3n + 1. Démontrer que pour tout entier naturel n, un ≤n + 3. Exercice 2 (Asie 2013) On considère la suite(un) déﬁnie sur N par : u0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+1 = 1 + 3un 3 + un . Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on un > 1. Exercice 1 Nous allons démontrer le résultat par récurrence : • Proposition : Pour tout entier naturel n, posons la phrase de récurrence P(n) : « un ≤n + 3 ». La phrase de récurrence doit être avec des guillemets. En eﬀet pour le moment nous ne savons pas qu’elle vraie. • Initialisation : Le premier terme est u0. Puisque l’on a u0 = 2 et P(0) : u0 ≤0 + 3. P(0) est vraie. • Hérédité : On suppose qu’il existe un entier naturel naturel k, tel que P(k) soit vraie. On a uk+1 = 2 3uk + 1 3k + 1 et par hypothèse de récurrence : uk ≤k + 3. En multipliant par un nombre positif : 2 3uk ≤2 3(k + 3) soit 2 3uk ≤2 3k + 2. Puis, en ajoutant un même nombre dans chaque membre : 2 3uk + 1 3k + 1 ≤2 3k + 2 + 1 3k + 1. Ce qui donne : uk+1 ≤k + 3 ≤k + 4. On a donc montré que uk+1 ≤(k + 1) + 3, c’est à dire que P(k + 1) est vraie. • Conclusion : On vient de montrer par le principe de récurrence que pour tout entier naturel n, P(n) est vraie. C’est à dire que pour tout entier naturel n, un ≤n + 3. (Notez que les guillemets ont disparu). Exercice 2 • Proposition : Pour tout entier naturel n, posons P(n) : « un > 1 ». • Initialisation : u0 = 2 et P(0) : u0 > 1. P(0) est vraie. • Hérédité : On suppose qu’il existe un entier naturel naturel p, tel que P(p) soit vraie. On a up+1 = 1 + 3up 3 + up = 3 + up −2 + 2up 3 + up = (3 + up) + (2up −2) 3 + up = 1 + 2up −1 3 + up . Par hypothèse de récurrence on a : up > 1 donc up −1 > 0. De même 3 + up > 4 soit 3 + up > 0 donc son inverse aussi 1 3 + up > 0. Finalement up −1 3 + up > 0, c’est-à-dire que pour tout entier naturel p, on a up+1 = 1 + 2up −1 3 + up > 1. • Conclusion : On vient de montrer par le principe de récurrence que pour tout entier naturel n, P(n) est vraie. C’est à dire que pour tout entier naturel n, un > 1. uploads/Finance/ comment-utiliser-le-principe-de-recurrence.pdf