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Cette construction se généralise encore avec le procédé de localisation. Construction Propriétés Corps Plongement Propriété universelle Unicité Exemples Généralisation Références On définit sur E = A × A\{0} deux lois internes et une relation d'équivalence compatible avec ces deux lois : une pseudo-addition : pour tout (a, b) et (c, d) de E, (a, b) + (c, d) = (ad + cb, bd) ; une pseudo-multiplication : pour tout (a, b) et (c, d) de E, (a, b) . (c, d) = (ac, bd) ; une relation : pour tout (a, b) et (c, d) de E, (a, b) ~ (c, d) ssi ad = bc. L'existence des deux lois est fortement subordonnée au fait que l'anneau soit intègre car il faut que le produit bd soit non nul Dans ce cas les deux lois de composition interne sont bien définies commutatives (d'après la Sommaire Construction bd soit non nul. Dans ce cas, les deux lois de composition interne sont bien définies, commutatives (d'après la commutativité du produit sur A) et associatives. Elles ne possèdent un élément neutre que si l'anneau est unitaire (il s'agit dans ce cas de (0, 1) pour la première et (1, 1) pour la seconde) et même dans ce cas, si l'anneau n'est pas déjà un corps, il existe des éléments sans inverse pour chacune des deux lois construites sur E. Enfin, il n'y a pas de distributivité de la seconde loi sur la première. La relation ~ définie par (a, b) ~ (c, d) si ad = bc est bien symétrique, réflexive et transitive par hypothèse d'intégrité. Elle est de plus compatible avec les deux lois, c'est-à-dire que la classe du résultat de la pseudo- multiplication (ou de la pseudo-addition) ne dépend que des classes des opérandes. Autrement dit, les lois de composition peuvent être appliquées aux classes d'équivalence sans tenir compte du choix du représentant. La classe d'un couple (a, b) se note usuellement et est appelée fraction. L'ensemble quotient, noté K(A) est muni des lois de composition induites (addition et multiplication). K(A) est alors un corps commutatif, c'est-à-dire qu'il possède les propriétés suivantes (on fixe un élément non nul quelconque x de A) : simplification de fraction : pour tout c non nul, ; commutativité et associativité des lois induites ; existence d'un neutre pour la première loi existence d'une unité neutre pour la seconde ; existence d'un opposé pour tout élément ; existence d'un inverse pour tout élément non nul ; di t ib ti ité d l lti li ti l' dditi Propriétés Corps distributivité de la multiplication sur l'addition : Si l'anneau A est unitaire, l'application i de A dans K(A) qui, à l'élément a, associe est un morphisme injectif qui plonge l'anneau A dans son corps de fractions. Si l'anneau A n'est pas unitaire, on choisit un élément e non nul de A. L'application i de A dans K(A) qui, à l'élément a associe est un morphisme injectif qui plonge l'anneau A dans son corps de fractions. Cette application ne dépend pas de l'élément e non nul choisi. Pour tout corps L et tout morphisme injectif d'anneaux de A dans L, il existe un unique morphisme de corps de K(A) dans L tel que La seule façon de créer est de définir par , où e est un élément non nul fixé de A. Il suffit ensuite de prouver que cette construction est indépendante du représentant choisi et que est bien un morphisme injectif. D'après la propriété universelle, K(A) est le plus petit corps contenant A, au sens suivant : si L est un autre corps contenant A, il existe un morphisme injectif de A dans L donc un morphisme injectif de K(A) dans L. La construction des nombres rationnels consiste à définir le corps ℚ des nombres rationnels comme le corps des fractions de l'anneau ℤ des entiers relatifs. Pour tout corps commutatif K, le corps des fractions de l'anneau de polynômes K[t] est le corps de fractions rationnelles K(t). Le corps des fractions du sous-anneau K[t2, t3] contient t = t3/t2 donc est aussi K(t). Le corps des fonctions méromorphes est le corps des fractions de l'anneau des fonctions holomorphes sur ℂautrement dit des fonctions entières Plongement Propriété universelle Unicité Exemples holomorphes sur ℂ, autrement dit des fonctions entières. Si l'anneau est commutatif mais n'est pas intègre, il n'a plus un corps des fractions mais un anneau total des fractions. Cet anneau de fractions est défini comme le localisé S-1A de A en le sous-ensemble S des éléments qui sont réguliers, c'est-à-dire qui ne sont pas des diviseurs de zéro. Si l'anneau n'est pas commutatif mais est d'Ore, alors il possède un corps de fractions non commutatif. Cours de mathématiques-(tome I) Jacqueline-Lelong Ferrand et Jean-Marie Arnaudiès. Editions Bordas Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre commutative, chapitre II, § 2 Ce document provient de « https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Corps_des_fractions&oldid=176075962 ». La dernière modification de cette page a été faite le 30 octobre 2020 à 23:10. Droit d'auteur : les textes sont disponibles sous licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions ; d’autres conditions peuvent s’appliquer. Voyez les conditions d’utilisation pour plus de détails, ainsi que les crédits graphiques. En cas de réutilisation des textes de cette page, voyez comment citer les auteurs et mentionner la licence. Wikipedia® est une marque déposée de la Wikimedia Foundation, Inc., organisation de bienfaisance régie par le paragraphe 501(c)(3) du code fiscal des États-Unis. Généralisation Références uploads/Finance/ corps-des-fractions.pdf