ISSAT Gabes Année universitaire 2021 −2022 Section : M.P.1 Durée : 2 h !DEVOIR
ISSAT Gabes Année universitaire 2021 −2022 Section : M.P.1 Durée : 2 h !DEVOIR SURVEILLÉ NUMÉRO 1. Le sujet comporte trois exercices indépendants. Un grand soin devra être apporté à la rédaction. Exercice 01 : (1) Déterminer une primitive de f : x 7− → sin(x) 2−cos(x). En déduire R π 2 0 sin(t) 2−cos(t)dt. Soit l'équation diérentielle (E) : y′ + sin(x) 2−cos(x)y = 2 sin(x). (2) Résoudre sur R l'équation sans second membre (H) associée à (E). (3) a) Véri er que y1 : x 7− →2 −cos(x) est une solution particulière de (E). b) Résoudre (E) sur R. (4) Trouver la fonction h dé nie sur R, solution de (E) et qui véri e : h(0) = 1. Exercice 02 : On considère l'équation diérentielle y′′ + 2y′ + 4y = xex. (1) Résoudre dans R l'équation sans second membre associée à cette équation. (2) Trouver une solution particulière de l'équation, et en déduire ses solutions. (3) On considère l'équation t2f′′(t)+3tf′(t)+4f(t) = t ln(t), où f est supposée dé nie uniquement sur ]0, +∞[. En posant g(x) = f(ex), et en exploitant les résultats des questions précédentes, résoudre cette nouvelle équation. Exercice 03 : On cherche à déterminer quels sont les réels x pour lesquels l'égalité arcsin 2x √ 1 −x2 = 2 arcsin(x) est véri ée. Pour cela, on va poser f(x) = arcsin 2x √ 1 −x2 . (1) On pose g(x) = 2x √ 1 −x2. a) Déterminer le domaine de dé nition de g. b) Préciser sur quel ensemble g est dérivable et dresser son tableau de variations. c) En déduire l'ensemble de dé nition de f. Peut-on restreindre l'étude de f à un intervalle plus petit que Df ? 1 !DEVOIR SURVEILLÉ NUMÉRO 1. 2 (2) Etudier rigoureusement l'ensemble de dérivabilité de la fonction f. (3) Calculer et simpli er f′(x). (4) En déduire une expression simpli ée de f sur chacun des intervalles où elle est dérivable, et répondre à la question posée en début de l'énoncé. (5) On souhaite retrouver le résultat précédent par une autre méthode. a) Justi er, si x ∈Df l'existence d'un unique réel θ ∈[−π 2 , π 2 ] tel que x = sin(θ). b) Justi er que, si t ∈[ π 2 , 3π 2 ], arcsin (sin(t)) = π −t, et que, si t ∈[−3π 2 , −π 2 ], arcsin (sin(t)) = −π −t . c) Justi er que, pour x ∈[−1, 1], arccos(x) + arcsin(x) = π 2 . d) Véri er que, pour θ ∈[−π 2 , π 2 ], f (sin(θ)) = arcsin (sin(2θ)), puis donner f(x) dans chacun des cas suivants : i) x ∈[−1 √ 2, 1 √ 2] ii) x ∈[ 1 √ 2, 1] iii) x ∈[−1, −1 √ 2] Conclure. Bon travail uploads/Finance/ d-s-1-2021-2022.pdf
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Gratuit pour un usage personnel Attribution requise- Détails
- Publié le Fev 15, 2022
- Catégorie Business / Finance
- Langue French
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