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Une grande importance sera attachée à la clarté de la rédaction et au soin de l

Une grande importance sera attachée à la clarté de la rédaction et au soin de la présentation EXERCICE1(3pts) : Cocher la réponse exacte : 1) Une expérience aléatoire est représenté par l’arbre pondéré ci-contre : 0,12 B A  0 ,4 0,88 B A  0,6 B A  B A  a) La probabilité de l’événement A B  est égale à : 0,048 ; 0,12 ; 0,3 .    b) Sachant que ( ) 0,35 p B  , alors ( / ) p B A est égale à : 0,38 ; 0,08 ; 0,5 .    2) La durée de vie X, exprimée en années, d’une machine suit la loi exponentielle de paramètre 0,2. La probabilité que la machine ne tombe pas en panne avant 5 ans est égale à : 1 1 1 ; 1 ; 0,2 e e e       . 3) Le plan est muni d’un repère orthonormé ( , , ) O i j  . L’équation 2 2 9 36 x y   est celle d’une ellipse de centre O et de foyers : (0;4 2) '(0; 4 2) ; (2 10;0) '( 2 10) ; (4 2;0) '( 4 2;0) F et F F et F F et F       EXERCICE2 (4pts): Tous les résultats de cet exercice seront arrondis à 10-3 près. Le tableau suivant donne l’évolution d’un chiffre d’affaires yi en millions de dinars de 1999 à 2005. Année 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 Rang Xi de l’année 1 2 3 4 5 6 7 Chiffre d’affaires Yi 125 170 212 250 292 334 362 1) On pose ln( ) i i Z Y  . a) Calculer les valeurs de Zi associées aux rangs Xi du tableau. b) Représenter, dans un repère orthogonal, le nuage de points de la série statistique (X,Z). 2)a) Calculer le coefficient de corrélation entre X et Z. Un ajustement affine est-il justifié ? b) Déterminer une équation de la droite D d’ajustement affine de Z en X obtenue par la méthode des moindres carrés puis tracer cette droite dans le même repère. Lycée ch -khaznadar Teboursouk Prof : Rakrouki .M Devoir de Controle n°3 Classe : 4ème Math Durée : 180 minutes Date : 28/04/2010 c) Donner une estimation du chiffre d’affaires en 2010. 3) A partir de quelle année peut-on prévoir que le chiffre d’affaires sera supérieur 980 millions dinars. EXERCICE3 (5pts): On considère une urne U1 contenant 2 boules blanches et 4 boules rouges et une urne U2 contenant 3 boules blanches et 2 boules rouges. Toutes les boules sont indiscernables au toucher. I) On tire une boule de U1 et une boule de U2. 1)a) Calculer la probabilité des événements suivants : A : « Obtenir deux boules de même couleur » ; B : « Parmi les deux boules tirées, une au moins est blanche ». b) Sachant qu’on a obtenu deux boules de couleurs différentes, quelle est la probabilité pour que la boule rouge soit tirée de U1. 2) Soit X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de boules blanches obtenues. a) Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer l’espérance mathématique et la variance de X. b) On répète l’épreuve précédente 5 fois de suite en remettant à chaque fois la boule dans l’urne où elle est tirée. Quelle est la probabilité des événements suivants : F : « Obtenir exactement trois fois deux boules de même couleur ». G : « Obtenir deux boules de même couleur pour la première fois au quatrième tirage » H : « Avoir au plus une fois deux boules de même couleur » II) On considère l’épreuve suivante : On tire une boule de U1, si elle est blanche on la garde et on tire une autre boule de U1, si elle est rouge on la met dans U2 et on tire successivement sans remise deux boules de U2. Soit Y la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de boules blanches obtenues au cours de cette épreuve. Déterminer la loi de probabilité de Y. EXERCICE4(8pts) : A) Soit n un entier naturel non nul. On considère l’équation différentielle ( ): ' ! n x x E y y e n    . 1) Soient g et h deux fonctions définies et dérivables sur  et vérifient pour tout réel x, ( ) ( ) x g x h x e  . a) Montrer que g est solution de ( ) E si est seulement si , pour tout réel x, '( ) ! n x h x n  . b) En déduire la fonction h associé à une solution g de( ) E , sachant que (0) 0 h  . Déterminer alors la fonction g. 2)a) Résoudre l’équation différentielle 0 ( ): ' 0 E y y   . b) Montrer qu’une fonction définie et dérivable sur  est solution de ( ) E si est seulement si g  est solution de l’équation différentielle 0 ( ) E . c) En déduire la solution générale  de l’équation ( ) E . d) Déterminer la solution f de l’équation ( ) E telle que f(0) = 0. B) Le but de cette partie et de prouver que 0 1 lim ! n n k e k     . 1) On considère les fonctions f0 et f1 définies sur 0 1 : ( ) ( ) x x par f x e et f x xe      . Vérifier que f1 est solution de l’équation différentielle 0 ' y y f   . 2) Pour tout entier naturel non nul n, on note fn la solution de l’équation différentielle 1 ' n y y f    vérifiant fn(0) = 0. En utilisant la partie A) montrer par récurrence que pour tout réel x et tout entier naturel non nul n, ( ) ! n x n x f x e n   . 3)a) Etudier le variations de fn sur (distinguer les cas n paire et n impaire). b) Tracer dans un même repère orthonormé ( , , ) O i j  les courbes C1 et C2 respectivement de f1 et f2. 4) Pour tout entier naturel non nul n, on pose 1 0 ( ) n n I f x dx  a) Montrer que pour tout   0;1 , 0 ( ) ! n n x x f x n    et que 1 0 ( 1)! n I n    puis déduire la limite de ( ) n I . b) Montrer que pour tout entier naturel non nul n, on a : 1 1 1 ! n n I I e n     . c) Calculer 0 I et déduire de ce qui précède que 0 1 1 1 ! n n k I e k   d) En déduire que 0 1 lim ! n n k e k     . BON TRAVAIL uploads/Finance/ devoir-de-controle-n03-math-3eme-mathematiques-2010-2011-mr-rakrouki-mourad.pdf