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Cpge Lycée Omar ben-Abdelaziz MPSI 2 Année scolaire 2021-2022 Devoir libre no8

Cpge Lycée Omar ben-Abdelaziz MPSI 2 Année scolaire 2021-2022 Devoir libre no8 le vendredi 18/02/2022 Exercice . (Équations de Mordell) Partie I : Résolution de 2 3 16 y x   Soit 2 ( ) ; a b tel que 1 a b   . On rappelle que, si ab est un cube parfait, alors a et b le sont également. 1. Soit 2 ( ; ) x y tel que y soit impair et 2 3 16 y x   . a) Montrer qu'il existe 2 ( ) ; a b  un couple de nombres impairs tel que 3 3 4 et 4 y a y b     . b) Montrer que 2 8 et 3 24 64 1 a b b b      . c) Conclure. 2. Soit 2 ( ; ) x y  tel que y est pair et 2 3 16 y x   . a) Montrer que x et y sont divisibles par 4. On note 0 0 4 et 4 x x y y   . b) Montrer que 0 y est impair. On note 0 2 1 y n   . c) Montrer que n et 1 n  sont des cubes parfaits, puis en déduire la valeur de x . 3. Déterminer l'ensemble des entiers 2 ( ; ) x y  tels que 2 3 16 y x   . Partie II : Résolution de 2 3 7 y x   4. Soit a . Montrer que le reste de la division euclidienne de 2 a par 8 appartient à l'ensemble {0,1,4} . 5. Soit 2 ( ; ) x y  tel que 2 3 7 y x   . a) Si x est pair, montrer que 2 7 [8 y   . En déduire que x est impair. On suppose dans la suite que x est impair. b) Factoriser, dans [X   , le polynôme 3 8 X  . c) Montrer que 2 ( 1 3 ) x  possède un diviseur premier p congru à 3 modulo 4. d) En utilisant l'entier p obtenu à la question précédente, montrer que 2 1 [ y p  . 6. En déduire l'ensemble des couples 2 ( ; ) x y  tels que 2 3 7 y x   . Problème : Polynômes de Chebychev On définit une suite de polynômes  ( ) n n T , de la manière suivante :         0 1 2 1 ( ) 1, ( ) , et : ( ) 2 ( ) ( ) n n n T X T X X n T X XT X T X Première partie 1. Calculer 2 3 4 5 , , et T T T T . 2. Montrer que pour tout entier n : (a) n T est de degré n et son terme dominant est 1 2n n X . (b) n T a la parité de n . (c)  (1) 1 n T . 3. Montrer que :         2 2 ( , ) , n m n m n m m n m n T T T T . 4. Prouver que :     2 , ) , ( ( )) ( ) ( m n m n m n T T X T X . En déduire un isomorphisme entre    . ( { , ) , } n et T n Deuxième partie 1. Montrer que :             , , cos co et cosh cosh ) ( ) ( ) ( ) ( n n n T s n T n . 2. Etablir que, pour tout 1 n , les racines de n T sont réels, distincts deux à deux, qu’ils sont dans 1,1[, et qu’ils sont donnés par        0,..., 1 : cos( ) 2 k k k n x n n . 3. (a) Montrer que :            sin 0, , , c . ( os ) ) n ] [ ( si n n n T n (b) En déduire les extrémums de n T (avec 2 n ) et en quels points ils sont atteints. 4. Pour 1 n , décomposer la fraction rationnelle 1 n T en éléments simples. 5. Montrer que :         2 2 , 1 0 ( ) n n n n X T XT n T . Troisième partie Dans cette partie, P est un polynôme à coefficients réels de monôme dominant  n X , avec 1 n . 1. Montrer que       1 sup | ( )|, 1,1 2 | | [ ] n P x x Indication : Raisonner par l’absurde et considérer le polynôme     1 2n n Q P T . 2. Plus généralement, montrer que  2 ( , ) a b :              1 sup | ( )|, 2 | 2 | n n b a P x a x b Indication : Utiliser un changement de variable pour se ramener au segment   [ 1,1 . uploads/Finance/ devoir-libre8-2021-2022-polynomes.pdf