STAT-S-202 Corrig´ e Chapitre I : Estimation Probabilit´ es et inf´ erence stat

STAT-S-202 Corrig´ e Chapitre I : Estimation Probabilit´ es et inf´ erence statistique (STAT-S-202) Titulaires : Catherine Dehon et Davy Paindaveine Partie 2 : Inf´ erence statistique Les exercices qui vous sont propos´ es sont class´ es de la fa¸ con suivante : – Exercice*** : exercice pr´ esent´ e enti` erement par l’assistant durant le s´ eminaire – Exercice** : exercice ` a r´ esoudre individuellement ou par petit groupe durant la s´ eance – Exercice* : exercice suppl´ ementaire Chapitre I : Estimation Exercice 1*** On s’int´ eresse ` a la r´ eussite des entreprises au cours de l’ann´ ee 2010. Notons p la pro- babilit´ e de faillite d’une entreprise en cette ann´ ee 2010. Pour ´ etudier ce param` etre p, on a pr´ elev´ e un ´ echantillon al´ eatoire simple avec remise de n entreprises en activit´ e au d´ ebut de l’ann´ ee 2010, et on a relev´ e pour chaque entreprise si oui (X = 1) ou non (X = 0) une faillite avait eu lieu au cours de l’ann´ ee. On a X ∼Bin(1, p) o` u p est un param` etre inconnu dans ]0, 1[. Donc : P[X = xi] = pxi(1 −p)1−xi, xi ∈{0, 1} i.e. P[X = 1] = p et P[X = 0] = 1 −p = q. Soient X1, . . . , Xn i.i.d. Bin(1, p). p ∈]0, 1[. 1. D´ eterminez ˆ p l’estimateur de p obtenu (a) par la m´ ethode des moments : Le principe de la m´ ethode des moments est d’´ egaler les moments th´ eoriques aux moments empiriques. Donc ˆ p est solution de : E[X] = 1 n n X i=1 Xi. Comme E[X] = p, alors ˆ p est solution de : p = 1 n n X i=1 Xi. Ainsi : ˆ p = 1 n Pn i=1 Xi = ¯ X. (b) par la m´ ethode du maximum de vraisemblance La vraisemblance de p associ´ ee ` a X1, . . . , Xn est : L(X1, ..., Xn; p) = n Y i=1 pXi(1 −p)1−Xi = p Pn i=1 Xi(1 −p)n−Pn i=1 Xi. Titulaire: C. Dehon Assistant: E.M. ALLAOUI STAT-S-202 Corrig´ e Chapitre I : Estimation Donc, ℓ(p) = ln n L(X1, ..., Xn; p) o =  n X i=1 Xi  ln p +  n − n X i=1 Xi  ln(1 −p). Pour trouver p qui maximise ℓ(p), il faut d’abord ´ egaler ∂ℓ(p) ∂p ` a 0. Comme ∂ℓ(p) ∂p = Pn i=1 Xi p −n −Pn i=1 Xi 1 −p , alors : ∂ℓ(p) ∂p = 0 ⇔ n X i=1 Xi = np ⇔p = 1 n n X i=1 Xi = ¯ X. Ensuite, il faut v´ erifier que ∂2ℓ(p) ∂p2 ´ evalu´ ee en p = ¯ X est n´ egative. Comme ∂2ℓ(p) ∂p2 = − Pn i=1 Xi p2 −n −Pn i=1 Xi (1 −p)2 , alors : ∂2ℓ(p) ∂p2 p= ¯ X = − Pn i=1 Xi ¯ X2 −n −Pn i=1 Xi (1 −¯ X)2 = −n ¯ X ¯ X2 −n −n ¯ X (1 −¯ X)2 = −n ¯ X − n (1 −¯ X) = − n ¯ X(1 −¯ X) < 0, ´ evident car Xi ne prend que les valeurs 0 et 1 et donc ¯ X > 0
Donc, p = ¯ X est bien la valeur qui maximise ℓ(p). Et par suite, ˆ p = ¯ X. 2. L’´ echantillon observ´ e sera d´ esign´ e par (x1, . . . , xn) (les minuscules sont souvent r´ eserv´ ees aux valeurs num´ eriques observ´ ees, tandis que les majuscules d´ esignent les v.a. dont ces valeurs observ´ ees sont des r´ ealisations). Calculez les estimations par la m´ ethode des moments et par la m´ ethode du maximum de vraisemblance pour l’´ echantillon suivant de taille n = 10 (1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1) o` u la valeur 1 repr´ esente une faillite. (a) Par la m´ ethode des moments Comme ˆ p = ¯ X, alors pour l’´ echantillon observ´ e ˆ p = ¯ x = 1 10 P10 i=1 xi = 1 10(1 + 0 + 1 + 1 + 1 + 0 + 1 + 1 + 0 + 1) = 0.7. (b) Par la m´ ethode du maximum de vraisemblance Comme ˆ p = ¯ X, alors pour l’´ echantillon observ´ e ˆ p = ¯ x = 1 10 P10 i=1 xi = 1 10(1 + 0 + 1 + 1 + 1 + 0 + 1 + 1 + 0 + 1) = 0.7. Remarque : Les estimateurs obtenus par la m´ ethode des moments ne co¨ ıncident pas toujours avec ceux obtenus par la m´ ethode du maximum de vraisemblance. 3. Recherchez les propri´ et´ es de ces estimateurs (biais, convergence, exhaustivit´ e, efficacit´ e). Titulaire: C. Dehon Assistant: E.M. ALLAOUI STAT-S-202 Corrig´ e Chapitre I : Estimation (a) Biais ? Par d´ efinition on a : Biais (ˆ p) = E[ˆ p] −p. Or E[ˆ p] = 1 n n X i=1 E[Xi] = 1 nnp = p, car Xi ∼Bin(1, p) = ⇒E[Xi] = p. Donc : Biais (ˆ p) = E[ˆ p] −p = p −p = 0. Par suite, ˆ p est un estimateur sans biais de p. (b) Convergence faible de ˆ p vers p ? Il suffit de v´ erifier les deux conditions suffisantes suivantes              (i) lim n→+∞E[ˆ p] = p ou lim n→+∞Biais (ˆ p) = 0 ou Biais (ˆ p) = 0 (une seule des trois suffit) et (ii) lim n→+∞Var(ˆ p) = 0, D’une part notons que (i) est v´ erifi´ ee d’apr` es la question (a), car Biais (ˆ p) = 0. D’autre part, on a : Var[ˆ p] = 1 n2 n X i=1 Var[Xi] = 1 n2 np(1−p) = p(1 −p) n , car Xi ∼Bin(1, p) = ⇒Var[Xi] = p(1−p). Donc (ii) est aussi v´ erifi´ ee car lim n→+∞Var(ˆ p) = lim n→+∞ p(1−p) n = 0. On en d´ eduit que ˆ p converge faiblement vers p. (c) Exhaustivit´ e ? Nous devons v´ erifier si pour X1, X2, ..., Xn i.i.d. Bin(1, p), la probabilit´ e conditionnelle P[X1 = x1, X2 = x2, ..., Xn = xn|ˆ p = k] ne d´ epend pas de p. Ou, de fa¸ con ´ equivalente, P[X1 = x1, X2 = x2, ..., Xn = xn| n X i=1 Xi = t] o` u t = kn ne d´ epend pas de p. On a P[X1 = x1, X2 = x2, ..., Xn = xn| n X i=1 Xi = t] = P[X1 = x1, X2 = x2, ..., Xn = xn, Pn i=1 Xi = t] P[Pn i=1 Xi = t] =        P h X1=x1,X2=x2,...,Xn=xn i P h Pn i=1 Xi=t i , si Pn i=1 xi = t 0, si Pn i=1 xi ̸= t . Titulaire: C. Dehon Assistant: E.M. ALLAOUI STAT-S-202 Corrig´ e Chapitre I : Estimation Si Pn i=1 xi = t, alors : P[X1 = x1, X2 = x2, ..., Xn = xn] P[Pn i=1 Xi = t] = P[X1 = x1] × P[X2 = x2] × . . . × P[Xn = xn] P h Pn i=1 Xi = t i = px1(1 −p)1−x1 × px2(1 −p)1−x2 × . . . × pxn(1 −p)1−xn P h Pn i=1 Xi = t i comme X1, . . . , Xn i.i.d. Bin(1, p), alors Pn i=1 Xi ∼Bin(n, p) (th´ eor` eme d’addition), par suite P[X1 = x1, X2 = x2, ..., Xn = xn] P[Pn i=1 Xi = t] = p Pn i=1 xi(1 −p)n−Pn i=1 xi n t
pt(1 −p)n−t = pt(1 −p)n−t n t
pt(1 −p)n−t = 1 n t
, donc, P[X1 = x1, X2 = x2, ..., Xn = xn|ˆ p = k] = ( 1 (n t) si Pn i=1 xi = t 0 si Pn i=1 xi ̸= t Ceci ne d´ epend pas de p. Ainsi, ˆ p est un estimateur exhaustif de p. (d) Efficacit´ e ? Rappelons que ˆ p est efficace ssi (i) Biais(ˆ p) = 0 (cette condition est v´ erifi´ ee d’apr` es (a)) et (ii) I(p) = (Var[ˆ p])−1, o` u I(p) est l’information de Fisher (relative ` a p) d´ efinie par I(p) = Var h∂ℓ(p) ∂p i = E h −∂2ℓ(p) ∂p2 i . On a : I(p) = E h −∂2ℓ(p) ∂p2 i = Pn i=1 E[Xi] p2 + n −Pn i=1 E[Xi] (1 −p)2 = np p2 + n −np (1 −p)2 = n p + n 1 −p = n p(1 −p). Or, Var[ˆ p] = p(1−p) n , donc I(p) = (Var[ˆ p])−1 Et par suite, ˆ p est un uploads/Finance/ estimation-corrige.pdf

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• Détails
• Publié le Apv 29, 2022
• Catégorie Business / Finance
• Langue French
• Taille du fichier 0.3498MB